Trigonométrie Exemples

$\frac{2 \cot (2 x)}{\cos (x) - \sin (x)} = \csc (x) + \sec (x)$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $\cos (x) - \sin (x)$ .

$\frac{2 \cot (2 x)}{\cos (x) - \sin (x)} (\cos (x) - \sin (x)) = (\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Simplifiez $\frac{2 \cot (2 x)}{\cos (x) - \sin (x)} (\cos (x) - \sin (x))$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x) - \sin (x)$ .

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Étape 2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cot (2 x)}{\cos (x) - \sin (x)} (\cos (x) - \sin (x)) = (\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 \cot (2 x) = (\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez $\cot (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 2.1.1.3

Associez $2$ et $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 2.1.1.4

Séparez les fractions.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 2.1.1.5

Convertissez de $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ à $\cot (2 x)$ .

$\frac{2}{1} \cot (2 x) = (\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 2.1.1.6

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \cot (2 x) = (\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $(\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 \cot (2 x) = (\frac{1}{\sin (x)} + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 2.2.1.1.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 \cot (2 x) = (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)}) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 2.2.1.2

Développez $(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)}) (\cos (x) - \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cot (2 x) = \frac{1}{\sin (x)} (\cos (x) - \sin (x)) + \frac{1}{\cos (x)} (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 2.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cot (2 x) = \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{1}{\cos (x)} (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 2.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cot (2 x) = \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Étape 2.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.3.1.1

Associez $\frac{1}{\sin (x)}$ et $\cos (x)$ .

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Étape 2.2.1.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \sin (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Étape 2.2.1.3.1.3

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 2.2.1.3.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{\sin (x)}$ dans le numérateur.

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1}{\sin (x)} \sin (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Étape 2.2.1.3.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1}{\sin (x)} \sin (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Étape 2.2.1.3.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Étape 2.2.1.3.1.4

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 2.2.1.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Étape 2.2.1.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 + 1 + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Étape 2.2.1.3.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 + 1 - \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)$

Étape 2.2.1.3.1.6

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 + 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.2.1.3.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 0 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.2.1.3.3

Additionnez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ et $0$ .

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.4.1

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$2 \cot (2 x) = \cot (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.2.1.4.2

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$2 \cot (2 x) = \cot (x) - \tan (x)$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez $2 \cot (2 x)$ .

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Étape 3.1.1.1

Réécrivez $\cot (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \cot (x) - \tan (x)$

Étape 3.1.1.2

Associez $2$ et $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \cot (x) - \tan (x)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \tan (x)$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{2 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $\sin (2 x)$ .

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (2 x) \frac{2 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 3.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 \cos (2 x) = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 3.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos (2 x) = \sin (2 x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (2 x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 3.6

Associez $\sin (2 x)$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{\sin (2 x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (2 x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 3.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cos (2 x) = \frac{\sin (2 x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.8.1.2

Associez les exposants.

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Étape 3.8.1.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.8.1.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.8.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.8.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.8.2

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 3.8.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.8.2.2

Divisez $2 \cos^{2} (x)$ par $1$ .

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.8.3

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $\sin (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - \frac{\sin (x) \sin (2 x)}{\cos (x)}$

Étape 3.8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.4.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - \frac{\sin (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.8.4.2

Associez les exposants.

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Étape 3.8.4.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.8.4.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.8.4.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - \frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.8.4.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.8.5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.8.5.1

Annulez le facteur commun.

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.8.5.2

Divisez $2 \sin^{2} (x)$ par $1$ .

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - (2 \sin^{2} (x))$

Étape 3.8.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)$

Étape 3.9

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.9.1

Soustrayez $2 \cos^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$2 \cos (2 x) - 2 \cos^{2} (x) = - 2 \sin^{2} (x)$

Étape 3.9.2

Ajoutez $2 \sin^{2} (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \cos (2 x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 3.10

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 3.11

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.11.1

Simplifiez $2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$ .

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Étape 3.11.1.1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.11.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$ .

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Étape 3.11.1.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 3.11.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sin^{2} (x)$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \cos^{2} (x)) + 2 (\sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.11.1.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \cos^{2} (x))$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)) + 2 (\sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.11.1.1.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (1 - 2 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)) + 2 (\sin^{2} (x))$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.11.1.1.2

Déplacez $- \cos^{2} (x)$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.11.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$2 (\sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.11.1.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.11.1.3.1

Soustrayez $2 \sin^{2} (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.11.1.3.2

Additionnez $- \sin^{2} (x)$ et $\sin^{2} (x)$ .

$2 \cdot 0 = 0$

Étape 3.11.1.3.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 = 0$

Étape 3.12

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$