Trigonométrie Exemples

$z^{4} + 4 \sqrt{2} z^{2} + 16 = 0$

Étape 1

Remplacez $u = z^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} + 4 \sqrt{2} u + 16 = 0$

$u = z^{2}$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4 \sqrt{2}$ et $c = 16$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 \sqrt{2}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Multipliez $16$ par $2$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Étape 4.1.5.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6

Soustrayez $64$ de $32$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.7

Réécrivez $- 32$ comme $- 1 (32)$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.8

Réécrivez $\sqrt{- 1 (32)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.9

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.10

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.1.10.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.10.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.12

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$ .

$u = - 2 \sqrt{2} \pm 2 i \sqrt{2}$

Étape 5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Étape 6

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = z^{2}$ dans l’équation résolue.

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}$

${(z^{2})}^{1} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Étape 7

Résolvez la première équation pour $z$ .

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}$

Étape 8

Résolvez l’équation pour $z$ .

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Étape 8.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$z = \pm \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Étape 8.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 8.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Étape 8.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$z = - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Étape 8.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Étape 9

Résolvez la deuxième équation pour $z$ .

${(z^{2})}^{1} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Étape 10

Résolvez l’équation pour $z$ .

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Étape 10.1

Supprimez les parenthèses.

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Étape 10.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$z = \pm \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Étape 10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 10.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Étape 10.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$z = - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Étape 10.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Étape 11

La solution à $z^{4} + 4 \sqrt{2} z^{2} + 16 = 0$ est $z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$ .

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$