Trigonométrie Exemples

$\sec (x) + \tan (x) = \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x) = \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \sin (x) = \cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 6

Multipliez $\cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ .

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Étape 6.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$1 + \sin (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 6.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + \sin (x) = \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 6.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + \sin (x) = \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + \sin (x) = \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{1 - \sin (x)}$

Étape 6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 + \sin (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 7

Soustrayez $\frac{\cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)}$ des deux côtés de l’équation.

$1 + \sin (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Étape 8

Simplifiez $1 + \sin (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)}$ .

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Étape 8.1

Pour écrire $\sin (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$1 + \frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{1 - \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Étape 8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 + \frac{\sin (x) (1 - \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Étape 8.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 + \frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Étape 8.3.1.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$1 + \frac{\sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Étape 8.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 + \frac{\sin (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Étape 8.3.1.4

Multipliez $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 8.3.1.4.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{\sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Étape 8.3.1.4.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{\sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Étape 8.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + \frac{\sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Étape 8.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 + \frac{\sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Étape 8.3.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin^{2} (x)$ .

$1 + \frac{\sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Étape 8.3.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos^{2} (x)$ .

$1 + \frac{\sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{1 - \sin (x)} = 0$

Étape 8.3.1.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$1 + \frac{\sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{1 - \sin (x)} = 0$

Étape 8.3.1.8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 + \frac{\sin (x) - 1 \cdot 1}{1 - \sin (x)} = 0$

Étape 8.3.1.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 + \frac{\sin (x) - 1}{1 - \sin (x)} = 0$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun à $\sin (x) - 1$ et $1 - \sin (x)$ .

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin (x)$ .

$1 + \frac{- 1 (- \sin (x)) - 1}{1 - \sin (x)} = 0$

Étape 8.3.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$1 + \frac{- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)}{1 - \sin (x)} = 0$

Étape 8.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)$ .

$1 + \frac{- 1 (- \sin (x) + 1)}{1 - \sin (x)} = 0$

Étape 8.3.2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$1 + \frac{- 1 (1 - \sin (x))}{1 - \sin (x)} = 0$

Étape 8.3.2.5

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{- 1 (1 - \sin (x))}{1 - \sin (x)} = 0$

Étape 8.3.2.6

Divisez $- 1$ par $1$ .

$1 - 1 = 0$

Étape 8.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0 = 0$

Étape 9

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$