Trigonométrie Exemples

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}$

Étape 1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}} = \tan (x)$

Étape 2

Réalisez le produit en croix.

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Étape 2.1

Réalisez un produit en croix en définissant le produit du numérateur du côté droit et du dénominateur du côté gauche égal au produit du numérateur du côté gauche et du dénominateur du côté droit.

$\tan (x) \cdot (\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}) = \sin (x)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $\tan (x) \cdot (\sqrt{1 - \sin^{2} (x)})$ .

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{1 - \sin^{2} (x)} = \sin (x)$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{1^{2} - \sin^{2} (x)} = \sin (x)$

Étape 2.2.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \sin (x)$

Étape 2.2.1.4

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{\cos (x)} = \sin (x)$

Étape 2.2.1.5

Séparez les fractions.

$\frac{\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sin (x)$

Étape 2.2.1.6

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{1} \tan (x) = \sin (x)$

Étape 2.2.1.7

Divisez $\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ par $1$ .

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} \tan (x) = \sin (x)$

Étape 3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Étape 4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ comme ${((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${({((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Développez $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${({(1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Étape 4.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${({(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Étape 4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

${({(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

${({(1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Étape 4.2.1.2.1.2

Multipliez $- \sin (x)$ par $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Étape 4.2.1.2.1.3

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Étape 4.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin (x) \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Étape 4.2.1.2.1.5

Multipliez $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 4.2.1.2.1.5.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Étape 4.2.1.2.1.5.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Étape 4.2.1.2.1.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Étape 4.2.1.2.1.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Étape 4.2.1.2.2

Additionnez $- \sin (x)$ et $\sin (x)$ .

${({(1 + 0 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Étape 4.2.1.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

${({(1 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Étape 4.2.1.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

${({(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Étape 4.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${({\cos (x)}^{2 (\frac{1}{2})} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Étape 4.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

${({\cos (x)}^{2 (\frac{1}{2})} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Étape 4.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\cos^{1} (x) \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Étape 4.2.1.5

Simplifiez

${(\cos (x) \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Étape 4.2.1.6

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1.6.1

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $\tan (x)$ .

${(\tan (x) \cos (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Étape 4.2.1.6.2

Réécrivez $\cos (x) \tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Étape 4.2.1.6.3

Annulez les facteurs communs.

$\sin^{2} (x) = \sin^{2} (x)$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Comme les exposants sont égaux, les bases des exposants des deux côtés de l’équation doivent être égales.

$| \sin (x) | = | \sin (x) |$

Étape 5.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.2.1

Réécrivez l’équation de la valeur absolue sous la forme de quatre équations sans barre de valeur absolue.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

$- \sin (x) = \sin (x)$

$- \sin (x) = - \sin (x)$

Étape 5.2.2

Après la simplification, il n’y a que deux équations uniques à résoudre.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

Étape 5.2.3

Résolvez $\sin (x) = \sin (x)$ pour $x$ .

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Étape 5.2.3.1

Pour que les deux fonctions soient égales, leurs arguments doivent être égaux.

$x = x$

Étape 5.2.3.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.3.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x - x = 0$

Étape 5.2.3.2.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$0 = 0$

Étape 5.2.3.3

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie.

Tous les nombres réels

Étape 5.2.4

Résolvez $\sin (x) = - \sin (x)$ pour $x$ .

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Étape 5.2.4.1

Déplacez tous les termes contenant $\sin (x)$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.4.1.1

Ajoutez $\sin (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$\sin (x) + \sin (x) = 0$

Étape 5.2.4.1.2

Additionnez $\sin (x)$ et $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) = 0$

Étape 5.2.4.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.2.4.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{2}$

Étape 5.2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.4.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 5.2.4.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 5.2.4.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.4.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.2.4.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 5.2.4.6

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 5.2.4.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 5.2.4.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.4.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.4.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.4.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.4.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$