Trigonométrie Exemples

Resolva para x tan(x)=(sin(x))/( racine carrée de 1-sin(x)^2)
Étape 1
Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.
Étape 2
Réalisez le produit en croix.
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Étape 2.1
Réalisez un produit en croix en définissant le produit du numérateur du côté droit et du dénominateur du côté gauche égal au produit du numérateur du côté gauche et du dénominateur du côté droit.
Étape 2.2
Simplifiez le côté gauche.
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Étape 2.2.1
Simplifiez .
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Étape 2.2.1.1
Réécrivez en termes de sinus et de cosinus.
Étape 2.2.1.2
Réécrivez comme .
Étape 2.2.1.3
Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, et .
Étape 2.2.1.4
Associez et .
Étape 2.2.1.5
Séparez les fractions.
Étape 2.2.1.6
Convertissez de à .
Étape 2.2.1.7
Divisez par .
Étape 3
Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.
Étape 4
Simplifiez chaque côté de l’équation.
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Étape 4.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 4.2
Simplifiez le côté gauche.
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Étape 4.2.1
Simplifiez .
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Étape 4.2.1.1
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
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Étape 4.2.1.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4.2.1.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4.2.1.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4.2.1.2
Simplifiez et associez les termes similaires.
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Étape 4.2.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
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Étape 4.2.1.2.1.1
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.1.3
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.1.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 4.2.1.2.1.5
Multipliez .
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Étape 4.2.1.2.1.5.1
Élevez à la puissance .
Étape 4.2.1.2.1.5.2
Élevez à la puissance .
Étape 4.2.1.2.1.5.3
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 4.2.1.2.1.5.4
Additionnez et .
Étape 4.2.1.2.2
Additionnez et .
Étape 4.2.1.2.3
Additionnez et .
Étape 4.2.1.3
Appliquez l’identité pythagoricienne.
Étape 4.2.1.4
Multipliez les exposants dans .
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Étape 4.2.1.4.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 4.2.1.4.2
Annulez le facteur commun de .
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Étape 4.2.1.4.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 4.2.1.4.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 4.2.1.5
Simplifiez
Étape 4.2.1.6
Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.
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Étape 4.2.1.6.1
Remettez dans l’ordre et .
Étape 4.2.1.6.2
Réécrivez en termes de sinus et de cosinus.
Étape 4.2.1.6.3
Annulez les facteurs communs.
Étape 5
Résolvez .
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Étape 5.1
Comme les exposants sont égaux, les bases des exposants des deux côtés de l’équation doivent être égales.
Étape 5.2
Résolvez .
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Étape 5.2.1
Réécrivez l’équation de la valeur absolue sous la forme de quatre équations sans barre de valeur absolue.
Étape 5.2.2
Après la simplification, il n’y a que deux équations uniques à résoudre.
Étape 5.2.3
Résolvez pour .
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Étape 5.2.3.1
Pour que les deux fonctions soient égales, leurs arguments doivent être égaux.
Étape 5.2.3.2
Déplacez tous les termes contenant du côté gauche de l’équation.
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Étape 5.2.3.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 5.2.3.2.2
Soustrayez de .
Étape 5.2.3.3
Comme , l’équation sera toujours vraie.
Tous les nombres réels
Tous les nombres réels
Étape 5.2.4
Résolvez pour .
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Étape 5.2.4.1
Déplacez tous les termes contenant du côté gauche de l’équation.
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Étape 5.2.4.1.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 5.2.4.1.2
Additionnez et .
Étape 5.2.4.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
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Étape 5.2.4.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 5.2.4.2.2
Simplifiez le côté gauche.
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Étape 5.2.4.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
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Étape 5.2.4.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.2.4.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 5.2.4.2.3
Simplifiez le côté droit.
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Étape 5.2.4.2.3.1
Divisez par .
Étape 5.2.4.3
Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du sinus.
Étape 5.2.4.4
Simplifiez le côté droit.
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Étape 5.2.4.4.1
La valeur exacte de est .
Étape 5.2.4.5
La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.
Étape 5.2.4.6
Soustrayez de .
Étape 5.2.4.7
Déterminez la période de .
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Étape 5.2.4.7.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 5.2.4.7.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 5.2.4.7.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 5.2.4.7.4
Divisez par .
Étape 5.2.4.8
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
, pour tout entier
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 6
Consolidez les réponses.
, pour tout entier