Trigonométrie Exemples

$(\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 1

Pour déterminer le $\csc (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(\frac{1}{2}, 0)$ et $(\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Opposé : $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Adjacent : $\frac{1}{2}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Étape 2.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + 1 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 2.5.2

Multipliez $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 2.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{1}}{2^{2}}}$

Étape 2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.7.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}$

Étape 2.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{1 + 3}{4}}$

Étape 2.7.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$\sqrt{\frac{4}{4}}$

Étape 2.7.4

Divisez $4$ par $4$ .

$\sqrt{1}$

Étape 2.7.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$1$

Étape 3

$\csc (θ) = \frac{Hypoténuse}{Opposé}$ donc $\csc (θ) = \frac{1}{- \frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Étape 4

Simplifiez $\csc (θ)$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 4.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\csc (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Étape 4.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\csc (θ) = - \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\csc (θ) = - (1 (\frac{2}{\sqrt{3}}))$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 4.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.5.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.5.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 4.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 4.5.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \approx - 1.15470053$