Trigonométrie Exemples

$\sin (\frac{a}{2}) = - \sqrt{\frac{1 - \cos (a)}{2}}$

Étape 1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (a)}{2}} = \sin (\frac{a}{2})$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- \sqrt{\frac{1 - \cos (a)}{2}})}^{2} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\frac{1 - \cos (a)}{2}}$ comme ${(\frac{1 - \cos (a)}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(\frac{1 - \cos (a)}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(- {(\frac{1 - \cos (a)}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 - \cos (a)}{2}$ .

${(- \frac{{(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Étape 3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{{(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{{(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Étape 3.2.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{{(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{{({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Étape 3.2.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 \frac{{({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Étape 3.2.1.3.2

Multipliez $\frac{{({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ par $1$ .

$\frac{{({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Étape 3.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1.4.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Étape 3.2.1.4.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.4.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Étape 3.2.1.4.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(1 - \cos (a))}^{1}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Étape 3.2.1.4.2

Simplifiez

$\frac{1 - \cos (a)}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Étape 3.2.1.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1.5.1

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 - \cos (a)}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Étape 3.2.1.5.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.5.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - \cos (a)}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Étape 3.2.1.5.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - \cos (a)}{2^{1}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Étape 3.2.1.5.2

Évaluez l’exposant.

$\frac{1 - \cos (a)}{2} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Étape 4

Résolvez $a$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1 - \cos (a)}{2} - \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

Étape 4.2

Simplifiez $\frac{1 - \cos (a)}{2} - \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

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Étape 4.2.1

Pour écrire $- \sin^{2} (\frac{a}{2})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - \cos (a)}{2} - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cdot \frac{2}{2} = 0$

Étape 4.2.2

Associez $- \sin^{2} (\frac{a}{2})$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - \cos (a)}{2} + \frac{- \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cdot 2}{2} = 0$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cdot 2}{2} = 0$

Étape 4.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1 - \cos (a) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2})}{2} = 0$

Étape 4.2.4.2

Déplacez $- 2 \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$\frac{1 - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a)}{2} = 0$

Étape 4.2.4.3

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\frac{\cos (2 \frac{a}{2}) - \cos (a)}{2} = 0$

Étape 4.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (2 \frac{a}{2}) - \cos (a)}{2} = 0$

Étape 4.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (a) - \cos (a)}{2} = 0$

Étape 4.2.4.5

Soustrayez $\cos (a)$ de $\cos (a)$ .

$\frac{0}{2} = 0$

Étape 4.2.5

Divisez $0$ par $2$ .

$0 = 0$

Étape 4.3

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $a$ .

Tous les nombres réels

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$