Trigonométrie Exemples

$\sin (\frac{3 n}{2}) = 1$

Étape 1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $n$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{3 n}{2} = \arcsin (1)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{3 n}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 3

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$3 n = π$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $3 n = π$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $3 n = π$ par $3$ .

$\frac{3 n}{3} = \frac{π}{3}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 n}{3} = \frac{π}{3}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $n$ par $1$ .

$n = \frac{π}{3}$

Étape 5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$\frac{3 n}{2} = π - \frac{π}{2}$

Étape 6

Résolvez $n$ .

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Étape 6.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 n}{2} = \frac{2}{3} (π - \frac{π}{2})$

Étape 6.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 n}{2}$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 n}{2} = \frac{2}{3} (π - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (3 n) = \frac{2}{3} (π - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 n$ .

$\frac{1}{3} (3 (n)) = \frac{2}{3} (π - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (3 n) = \frac{2}{3} (π - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$n = \frac{2}{3} (π - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez $\frac{2}{3} (π - \frac{π}{2})$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$n = \frac{2}{3} (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.2.2.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$n = \frac{2}{3} (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$n = \frac{2}{3} \cdot \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.2.2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$n = \frac{2}{3} \cdot \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.2.2.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$n = \frac{1}{3} (π \cdot 2 - π)$

Étape 6.2.2.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$n = \frac{1}{3} (2 π - π)$

Étape 6.2.2.1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 6.2.2.1.4.1

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$n = \frac{1}{3} π$

Étape 6.2.2.1.4.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $π$ .

$n = \frac{π}{3}$

Étape 7

Déterminez la période de $\sin (\frac{3 n}{2})$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $\frac{3}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{3}{2} |}$

Étape 7.3

$\frac{3}{2}$ est d’environ $1.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

Étape 7.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{2}{3}$

Étape 7.5

Multipliez $2 π \frac{2}{3}$ .

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Étape 7.5.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

Étape 7.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{3} π$

Étape 7.5.3

Associez $\frac{4}{3}$ et $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Étape 8

La période de la fonction $\sin (\frac{3 n}{2})$ est $\frac{4 π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{4 π}{3}$ radians dans les deux sens.

$n = \frac{π}{3} + \frac{4 π n}{3}$ , pour tout entier $n$