Trigonométrie Exemples

$x - \sqrt{4 x - 4} = 4$

Étape 1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- \sqrt{4 x - 4} = 4 - x$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- \sqrt{4 x - 4})}^{2} = {(4 - x)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 x - 4}$ comme ${(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 - x)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(- {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 - x)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 {({(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 - x)}^{2}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez ${({(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ par $1$ .

${({(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 - x)}^{2}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${({(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 - x)}^{2}$

Étape 3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

${(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 - x)}^{2}$

Étape 3.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

${(4 x - 4)}^{1} = {(4 - x)}^{2}$

Étape 3.2.1.5

Simplifiez

$4 x - 4 = {(4 - x)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(4 - x)}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(4 - x)}^{2}$ comme $(4 - x) (4 - x)$ .

$4 x - 4 = (4 - x) (4 - x)$

Étape 3.3.1.2

Développez $(4 - x) (4 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x - 4 = 4 (4 - x) - x (4 - x)$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x - 4 = 4 \cdot 4 + 4 (- x) - x (4 - x)$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x - 4 = 4 \cdot 4 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x)$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$4 x - 4 = 16 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x)$

Étape 3.3.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$4 x - 4 = 16 - 4 x - x \cdot 4 - x (- x)$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 x - 4 = 16 - 4 x - 4 x - x (- x)$

Étape 3.3.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x - 4 = 16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Étape 3.3.1.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$4 x - 4 = 16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Étape 3.3.1.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x - 4 = 16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 x - 4 = 16 - 4 x - 4 x + 1 x^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$4 x - 4 = 16 - 4 x - 4 x + x^{2}$

Étape 3.3.1.3.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$4 x - 4 = 16 - 8 x + x^{2}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$16 - 8 x + x^{2} = 4 x - 4$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$16 - 8 x + x^{2} - 4 x = - 4$

Étape 4.2.2

Soustrayez $4 x$ de $- 8 x$ .

$16 + x^{2} - 12 x = - 4$

Étape 4.3

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$16 + x^{2} - 12 x + 4 = 0$

Étape 4.4

Additionnez $16$ et $4$ .

$x^{2} - 12 x + 20 = 0$

Étape 4.5

Factorisez $x^{2} - 12 x + 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $20$ et dont la somme est $- 12$ .

$- 10, - 2$

Étape 4.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 10) (x - 2) = 0$

Étape 4.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 10 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 4.7

Définissez $x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.7.1

Définissez $x - 10$ égal à $0$ .

$x - 10 = 0$

Étape 4.7.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 4.8

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.8.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 4.8.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 10) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 10, 2$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $x - \sqrt{4 x - 4} = 4$ vrai.

$x = 10$