Trigonométrie Exemples

$(h^{2} - 16 h + 64) + (k^{2} - 12 k + 36) = 100$

Étape 1

Additionnez $64$ et $36$ .

$h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k + 100 = 100$

Étape 2

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 2.1

Soustrayez $100$ des deux côtés de l’équation.

$h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k + 100 - 100 = 0$

Étape 2.2

Associez les termes opposés dans $h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k + 100 - 100$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $100$ de $100$ .

$h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k + 0 = 0$

Étape 2.2.2

Additionnez $h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k$ et $0$ .

$h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 16$ et $c = k^{2} - 12 k$ dans la formule quadratique et résolvez pour $h$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (k^{2} - 12 k))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot (k^{2} - 12 k)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot (k^{2} - 12 k)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 k^{2} - 4 (- 12 k)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Multipliez $- 12$ par $- 4$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 k^{2} + 48 k}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{- 4 k^{2} + 48 k + 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6

Réécrivez $- 4 k^{2} + 48 k + 256$ en forme factorisée.

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Étape 5.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 k^{2} + 48 k + 256$ .

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Étape 5.1.6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 k^{2}$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2}) + 48 k + 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.2

Factorisez $4$ à partir de $48 k$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2}) + 4 (12 k) + 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $256$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2}) + 4 (12 k) + 4 (64)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- k^{2}) + 4 (12 k)$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2} + 12 k) + 4 (64)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- k^{2} + 12 k) + 4 (64)$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2} + 12 k + 64)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1.6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 64 = - 64$ et dont la somme est $b = 12$ .

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Étape 5.1.6.2.1.1

Factorisez $12$ à partir de $12 k$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2} + 12 (k) + 64)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2.1.2

Réécrivez $12$ comme $- 4$ plus $16$

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2} + (- 4 + 16) k + 64)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2} - 4 k + 16 k + 64)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.1.6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 ((- k^{2} - 4 k) + 16 k + 64)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (k (- k - 4) - 16 (- k - 4))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- k - 4$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 ((- k - 4) (k - 16))}}{2 \cdot 1}$

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k - 4) (k - 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $4 (- k - 4) (k - 16)$ comme $2^{2} ((- k - 4) (k - 16))$ .

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Étape 5.1.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} (- k - 4) (k - 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7.2

Ajoutez des parenthèses.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} ((- k - 4) (k - 16))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$h = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$h = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{16 \pm 2 \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}}{2}$ .

$h = 8 \pm \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$h = 8 + \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}$

$h = 8 - \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}$