Trigonométrie Exemples

$\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x) = 0$

Étape 1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) + \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3.2

Divisez $- \sqrt{3}$ par $1$ .

$\tan (x) - \sqrt{3} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 4

Séparez les fractions.

$\tan (x) - \sqrt{3} = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 5

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sqrt{3} = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 6

Divisez $0$ par $1$ .

$\tan (x) - \sqrt{3} = 0 \sec (x)$

Étape 7

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sqrt{3} = 0$

Étape 8

Ajoutez $\sqrt{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Étape 9

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Étape 10

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.1

La valeur exacte de $\arctan (\sqrt{3})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 11

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{3}$

Étape 12

Simplifiez $π + \frac{π}{3}$ .

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Étape 12.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 12.2

Associez les fractions.

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Étape 12.2.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 12.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Étape 12.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Étape 12.3.2

Additionnez $3 π$ et $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 13

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 13.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 13.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 13.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 13.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 14

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 15

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$