Trigonométrie Exemples

$- \sin (π x) = 1$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $- \sin (π x) = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $- \sin (π x) = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \sin (π x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin (π x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 1.2.2

Divisez $\sin (π x)$ par $1$ .

$\sin (π x) = \frac{1}{- 1}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\sin (π x) = - 1$

Étape 2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$π x = \arcsin (- 1)$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$π x = - \frac{π}{2}$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $π x = - \frac{π}{2}$ par $π$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $π x = - \frac{π}{2}$ par $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π x}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 4.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{2}$ dans le numérateur.

$x = \frac{- π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Étape 4.3.2.2

Factorisez $π$ à partir de $- π$ .

$x = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Étape 4.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Étape 4.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$π x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 6.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$π x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 6.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$π x = \frac{3 π}{2}$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $π x = \frac{3 π}{2}$ par $π$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $π x = \frac{3 π}{2}$ par $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Étape 6.3.3.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 6.3.3.2.1

Factorisez $π$ à partir de $3 π$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Étape 6.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Étape 6.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{2}$

Étape 7

Déterminez la période de $\sin (π x)$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $π$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| π |}$

Étape 7.3

$π$ est d’environ $3.14159265$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{π}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{π}$

Étape 7.4.2

Divisez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 8

Ajoutez $2$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 8.1

Ajoutez $2$ à $- \frac{1}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{1}{2} + 2$

Étape 8.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 8.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 8.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 - 1}{2}$

Étape 8.5.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{3}{2}$

Étape 8.6

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3}{2}$

Étape 9

La période de la fonction $\sin (π x)$ est $2$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3}{2} + 2 n, \frac{3}{2} + 2 n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Consolidez les réponses.

$x = \frac{3}{2} + 2 n$ , pour tout entier $n$