Trigonométrie Exemples

$\sin (70) \cos (x) - \cos (70) \sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Évaluez $\sin (70)$ .

$0.93969262 \cos (x) - \cos (70) \sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2

Évaluez $\cos (70)$ .

$0.93969262 \cos (x) - 1 \cdot (0.34202014 \sin (x)) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.3

Multipliez $- 1$ par $0.34202014$ .

$0.93969262 \cos (x) - 0.34202014 \sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 2

Utilisez l’identité pour résoudre l’équation. Dans cette identité, $θ$ représente l’angle créé en reportant le point $(a, b)$ sur un graphe et peut donc être trouvé en utilisant $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ où $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ et $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Étape 3

Définissez l’équation pour déterminer la valeur de $θ$ .

$\tan^{-1} (\frac{0.93969262}{- 0.34202014})$

Étape 4

Prenez la tangente inverse pour résoudre l’équation pour $θ$ .

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Étape 4.1

Divisez $0.93969262$ par $- 0.34202014$ .

$θ = \tan^{-1} (- 2.74747741)$

Étape 4.2

Évaluez $\tan^{-1} (- 2.74747741)$ .

$θ = - 70$

Étape 5

Résolvez pour déterminer la valeur de $R$ .

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Étape 5.1

Élevez $- 0.34202014$ à la puissance $2$ .

$R = \sqrt{0.11697777 + {(0.93969262)}^{2}}$

Étape 5.2

Élevez $0.93969262$ à la puissance $2$ .

$R = \sqrt{0.11697777 + 0.88302222}$

Étape 5.3

Additionnez $0.11697777$ et $0.88302222$ .

$R = \sqrt{1}$

Étape 6

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$(\sqrt{1}) \sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $\sqrt{1} \sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\sqrt{1}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{1} \sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\sqrt{1}$ .

$\frac{\sqrt{1} \sin (x - 70)}{\sqrt{1}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{1}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{1} \sin (x - 70)}{\sqrt{1}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $\sin (x - 70)$ par $1$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

Étape 7.3.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1}}$ par $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}})$

Étape 7.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1}}$ par $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1} \sqrt{1}}$

Étape 7.3.3.2

Élevez $\sqrt{1}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1} \sqrt{1}}$

Étape 7.3.3.3

Élevez $\sqrt{1}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1} {\sqrt{1}}^{1}}$

Étape 7.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1 + 1}}$

Étape 7.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{2}}$

Étape 7.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{1}}^{2}$ comme $1$ .

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Étape 7.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1}$ comme $1^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{(1^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{1}}$

Étape 7.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1}$

Étape 7.3.4

Évaluez la racine.

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Étape 7.3.5

Divisez $1$ par $1$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 7.3.6

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $1$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 8

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x - 70 = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 9

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.1

La valeur exacte de $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $60$ .

$x - 70 = 60$

Étape 10

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.1

Ajoutez $70$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 60 + 70$

Étape 10.2

Additionnez $60$ et $70$ .

$x = 130$

Étape 11

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x - 70 = 180 - 60$

Étape 12

Résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Soustrayez $60$ de $180$ .

$x - 70 = 120$

Étape 12.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.2.1

Ajoutez $70$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 120 + 70$

Étape 12.2.2

Additionnez $120$ et $70$ .

$x = 190$

Étape 13

Déterminez la période de $\sin (x - 70)$ .

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Étape 13.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 13.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 13.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 13.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 14

La période de la fonction $\sin (x - 70)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$x = 130 + 360 n, 190 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 15

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sin (70) \cos (x) - \cos (70) \sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ vrai.

Aucune solution