Trigonométrie Exemples

$\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$

Étape 1

Soustrayez $\sin (2 x)$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{2 \cos (x)} = - \sin (2 x)$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 \cos (x)}}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 \cos (x)}$ comme ${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 \cos (x))}^{1} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$2 \cos (x) = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(- \sin (2 x))}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sin (2 x)$ .

$2 \cos (x) = {(- 1)}^{2} \sin^{2} (2 x)$

Étape 3.3.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$2 \cos (x) = 1 \sin^{2} (2 x)$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $\sin^{2} (2 x)$ par $1$ .

$2 \cos (x) = \sin^{2} (2 x)$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $\sin^{2} (2 x)$ des deux côtés de l’équation.

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

Étape 4.2

Remplacez $\sin^{2} (2 x)$ par $1 - \cos^{2} (2 x)$ .

$2 \cos (x) - (1 - \cos^{2} (2 x)) = 0$

Étape 4.3

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.3.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

Étape 4.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \cos (x) - {(2 \sin (x) \cos (x))}^{2} = 0$

Étape 4.3.2.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.3.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) - ({(2 \sin (x))}^{2} \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 4.3.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2^{2} \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 4.3.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 \cos (x) - (4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 4.3.2.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

Étape 4.4

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

Étape 4.4.2

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $- 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

Étape 4.4.3

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

Étape 4.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Étape 4.6

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 4.6.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.6.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 4.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.6.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 4.6.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 4.6.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.6.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.6.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.6.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.6.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 4.6.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 4.6.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 4.6.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 4.6.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.6.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.6.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.6.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.6.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.7

Définissez $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.7.1

Définissez $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ égal à $0$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Étape 4.7.2

Résolvez $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.7.2.1

Remplacez le $\sin^{2} (x)$ par $1 - \cos^{2} (x)$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 (1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

Étape 4.7.2.2

Multipliez $1 - \cos^{2} (x)$ par $1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

Étape 4.7.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

Étape 4.7.2.4

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

Étape 4.7.2.5

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.7.2.5.1

Déplacez $\cos (x)$ .

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 4.7.2.5.2

Multipliez $\cos (x)$ par $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 4.7.2.5.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 4.7.2.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 2} = 0$

Étape 4.7.2.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\cos (x) - \cos^{3} (x) = 0$

Étape 4.7.2.6

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- \cos^{3} (x) + \cos (x) = 0$

Étape 4.7.2.7

Remplacez $\cos (x)$ par $u$ .

$- {(u)}^{3} + u = 0$

Étape 4.7.2.8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.7.2.8.1

Factorisez $- u$ à partir de $- u^{3} + u$ .

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Étape 4.7.2.8.1.1

Factorisez $- u$ à partir de $- u^{3}$ .

$- u \cdot u^{2} + u = 0$

Étape 4.7.2.8.1.2

Réécrivez $u$ comme $1 u$ .

$- u \cdot u^{2} + 1 u = 0$

Étape 4.7.2.8.1.3

Factorisez $- u$ à partir de $1 u$ .

$- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1 = 0$

Étape 4.7.2.8.1.4

Factorisez $- u$ à partir de $- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1$ .

$- u (u^{2} - 1) = 0$

Étape 4.7.2.8.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- u (u^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 4.7.2.8.3

Factorisez.

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Étape 4.7.2.8.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = u$ et $b = 1$ .

$- u ((u + 1) (u - 1)) = 0$

Étape 4.7.2.8.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- u (u + 1) (u - 1) = 0$

Étape 4.7.2.9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u = 0$

$u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Étape 4.7.2.10

Définissez $u$ égal à $0$ .

$u = 0$

Étape 4.7.2.11

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.7.2.11.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 4.7.2.11.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 4.7.2.12

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.7.2.12.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 4.7.2.12.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 4.7.2.13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- u (u + 1) (u - 1) = 0$ vraie.

$u = 0, - 1, 1$

Étape 4.7.2.14

Remplacez $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = 0, - 1, 1$

Étape 4.7.2.15

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) = - 1$

$\cos (x) = 1$

Étape 4.7.2.16

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = 0$ .

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Étape 4.7.2.16.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 4.7.2.16.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.7.2.16.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 4.7.2.16.3

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 4.7.2.16.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.7.2.16.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.7.2.16.4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.7.2.16.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.7.2.16.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 4.7.2.16.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.2.16.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 4.7.2.16.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 4.7.2.16.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 4.7.2.16.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.7.2.16.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.7.2.16.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.7.2.16.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.7.2.16.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.7.2.17

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - 1$ .

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Étape 4.7.2.17.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Étape 4.7.2.17.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.7.2.17.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 4.7.2.17.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 4.7.2.17.4

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 4.7.2.17.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 4.7.2.17.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.7.2.17.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.7.2.17.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.7.2.17.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.7.2.17.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.7.2.18

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = 1$ .

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Étape 4.7.2.18.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (1)$

Étape 4.7.2.18.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.7.2.18.2.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4.7.2.18.3

$x = 2 π - 0$

Étape 4.7.2.18.4

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 4.7.2.18.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.2.18.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.7.2.18.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.7.2.18.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.7.2.18.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.7.2.18.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.7.2.19

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.7.2.20

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 4.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Consolidez les réponses.

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Étape 5.1

Consolidez $\frac{π}{2} + 2 π n$ et $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2

Consolidez $\frac{π}{2} + π n$ et $\frac{π n}{2}$ en $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Vérifiez chaque solution en la remplaçant dans $\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$ et en résolvant.

$x = 4.71238898, 10.99557428$ , pour tout entier $n$