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Trigonométrie Exemples
Étape 1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 2
Étape 2.1
Appliquez l’identité d’angle double du sinus.
Étape 2.2
Utilisez l’identité d’angle triple pour transformer en .
Étape 2.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.4
Multipliez par .
Étape 2.5
Multipliez par .
Étape 3
Étape 3.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.2
Factorisez à partir de .
Étape 3.3
Factorisez à partir de .
Étape 3.4
Factorisez à partir de .
Étape 3.5
Factorisez à partir de .
Étape 4
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 5
Étape 5.1
Définissez égal à .
Étape 5.2
Résolvez pour .
Étape 5.2.1
Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du cosinus.
Étape 5.2.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 5.2.2.1
La valeur exacte de est .
Étape 5.2.3
La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.
Étape 5.2.4
Simplifiez .
Étape 5.2.4.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 5.2.4.2
Associez les fractions.
Étape 5.2.4.2.1
Associez et .
Étape 5.2.4.2.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.2.4.3
Simplifiez le numérateur.
Étape 5.2.4.3.1
Multipliez par .
Étape 5.2.4.3.2
Soustrayez de .
Étape 5.2.5
Déterminez la période de .
Étape 5.2.5.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 5.2.5.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 5.2.5.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 5.2.5.4
Divisez par .
Étape 5.2.6
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 6
Étape 6.1
Définissez égal à .
Étape 6.2
Résolvez pour .
Étape 6.2.1
Remplacez le par d’après l’identité .
Étape 6.2.2
Simplifiez chaque terme.
Étape 6.2.2.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 6.2.2.2
Multipliez par .
Étape 6.2.2.3
Multipliez par .
Étape 6.2.3
Additionnez et .
Étape 6.2.4
Remettez le polynôme dans l’ordre.
Étape 6.2.5
Remplacez par .
Étape 6.2.6
Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.
Étape 6.2.7
Remplacez les valeurs , et dans la formule quadratique et résolvez pour .
Étape 6.2.8
Simplifiez
Étape 6.2.8.1
Simplifiez le numérateur.
Étape 6.2.8.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.8.1.2
Multipliez .
Étape 6.2.8.1.2.1
Multipliez par .
Étape 6.2.8.1.2.2
Multipliez par .
Étape 6.2.8.1.3
Additionnez et .
Étape 6.2.8.1.4
Réécrivez comme .
Étape 6.2.8.1.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.8.1.4.2
Réécrivez comme .
Étape 6.2.8.1.5
Extrayez les termes de sous le radical.
Étape 6.2.8.2
Multipliez par .
Étape 6.2.8.3
Simplifiez .
Étape 6.2.9
La réponse finale est la combinaison des deux solutions.
Étape 6.2.10
Remplacez par .
Étape 6.2.11
Définissez chacune des solutions à résoudre pour .
Étape 6.2.12
Résolvez dans .
Étape 6.2.12.1
Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du sinus.
Étape 6.2.12.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 6.2.12.2.1
Évaluez .
Étape 6.2.12.3
La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.
Étape 6.2.12.4
Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.
Étape 6.2.12.4.1
Soustrayez de .
Étape 6.2.12.4.2
L’angle résultant de est positif, inférieur à et coterminal avec .
Étape 6.2.12.5
Déterminez la période de .
Étape 6.2.12.5.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 6.2.12.5.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 6.2.12.5.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 6.2.12.5.4
Divisez par .
Étape 6.2.12.6
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 6.2.13
Résolvez dans .
Étape 6.2.13.1
Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du sinus.
Étape 6.2.13.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 6.2.13.2.1
Évaluez .
Étape 6.2.13.3
La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.
Étape 6.2.13.4
Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.
Étape 6.2.13.4.1
Soustrayez de .
Étape 6.2.13.4.2
L’angle résultant de est positif, inférieur à et coterminal avec .
Étape 6.2.13.5
Déterminez la période de .
Étape 6.2.13.5.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 6.2.13.5.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 6.2.13.5.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 6.2.13.5.4
Divisez par .
Étape 6.2.13.6
Ajoutez à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.
Étape 6.2.13.6.1
Ajoutez à pour déterminer l’angle positif.
Étape 6.2.13.6.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 6.2.13.6.3
Associez les fractions.
Étape 6.2.13.6.3.1
Associez et .
Étape 6.2.13.6.3.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 6.2.13.6.4
Simplifiez le numérateur.
Étape 6.2.13.6.4.1
Multipliez par .
Étape 6.2.13.6.4.2
Soustrayez de .
Étape 6.2.13.6.5
Indiquez les nouveaux angles.
Étape 6.2.13.7
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 6.2.14
Indiquez toutes les solutions.
, pour tout entier
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 7
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
, pour tout entier
Étape 8
Consolidez et en .
, pour tout entier