Trigonométrie Exemples

$\sin (2 x) = \cos (3 x)$

Étape 1

Soustrayez $\cos (3 x)$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (2 x) - \cos (3 x) = 0$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (3 x) = 0$

Étape 2.2

Utilisez l’identité d’angle triple pour transformer $\cos (3 x)$ en $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) = 0$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sin (x) \cos (x) - (4 \cos^{3} (x)) - (- 3 \cos (x)) = 0$

Étape 2.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) - (- 3 \cos (x)) = 0$

Étape 2.5

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x) = 0$

Étape 3

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ .

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Étape 3.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x) = 0$

Étape 3.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- 4 \cos^{3} (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x)) + 3 \cos (x) = 0$

Étape 3.3

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $3 \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3 = 0$

Étape 3.4

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x))$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3 = 0$

Étape 3.5

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

Étape 5

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 5.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 5.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 5.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 5.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 5.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3$ égal à $0$ .

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez le $- 4 \cos^{2} (x)$ par $- 4 (1 - \sin^{2} (x))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 \sin (x) - 4 (1 - \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

Étape 6.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sin (x) - 4 \cdot 1 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$2 \sin (x) - 4 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

Étape 6.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$2 \sin (x) - 4 + 4 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Étape 6.2.3

Additionnez $- 4$ et $3$ .

$2 \sin (x) + 4 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 6.2.4

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$4 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Étape 6.2.5

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

$4 {(u)}^{2} + 2 (u) - 1 = 0$

Étape 6.2.6

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.2.7

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = 2$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.8

Simplifiez

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Étape 6.2.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.8.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Étape 6.2.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.8.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.8.1.3

Additionnez $4$ et $16$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.8.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 6.2.8.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.8.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.8.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Étape 6.2.8.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Étape 6.2.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Étape 6.2.10

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Étape 6.2.11

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Étape 6.2.12

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ .

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Étape 6.2.12.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$

Étape 6.2.12.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.12.2.1

Évaluez $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$ .

$x = \frac{π}{10}$

Étape 6.2.12.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π$

Étape 6.2.12.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 6.2.12.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π - \frac{π}{10} + π$ .

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π - 2 π$

Étape 6.2.12.4.2

L’angle résultant de $\frac{9 π}{10}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π - \frac{π}{10} + π$ .

$x = \frac{9 π}{10}$

Étape 6.2.12.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 6.2.12.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2.12.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.2.12.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.2.12.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.2.12.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6.2.13

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ .

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Étape 6.2.13.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$

Étape 6.2.13.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.13.2.1

Évaluez $\arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ .

$x = - \frac{3 π}{10}$

Étape 6.2.13.3

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π$

Étape 6.2.13.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 6.2.13.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ .

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π - 2 π$

Étape 6.2.13.4.2

L’angle résultant de $\frac{13 π}{10}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ .

$x = \frac{13 π}{10}$

Étape 6.2.13.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 6.2.13.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2.13.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.2.13.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.2.13.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.2.13.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 6.2.13.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{3 π}{10}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{3 π}{10} + 2 π$

Étape 6.2.13.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$2 π \cdot \frac{10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Étape 6.2.13.6.3

Associez les fractions.

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Étape 6.2.13.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2 π \cdot 10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Étape 6.2.13.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 10 - 3 π}{10}$

Étape 6.2.13.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.13.6.4.1

Multipliez $10$ par $2$ .

$\frac{20 π - 3 π}{10}$

Étape 6.2.13.6.4.2

Soustrayez $3 π$ de $20 π$ .

$\frac{17 π}{10}$

Étape 6.2.13.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{17 π}{10}$

Étape 6.2.13.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6.2.14

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez $\frac{π}{2} + 2 π n$ et $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , pour tout entier $n$