Trigonométrie Exemples

$\csc (4 x) = \sqrt{2}$

Étape 1

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$4 x = arccsc (\sqrt{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

La valeur exacte de $arccsc (\sqrt{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$4 x = \frac{π}{4}$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{π}{4}$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{π}{4}$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 3.3.2

Multipliez $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 4}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$x = \frac{π}{16}$

Étape 4

La fonction cosécante est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$4 x = π - \frac{π}{4}$

Étape 5

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$4 x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.1.2

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 5.1.4

Soustrayez $π$ de $π \cdot 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $4$ .

$4 x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 5.1.4.2

Soustrayez $π$ de $4 \cdot π$ .

$4 x = \frac{3 \cdot π}{4}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{4}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{4}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{4}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 4}$

Étape 5.2.3.2.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$x = \frac{3 π}{16}$

Étape 6

Déterminez la période de $\csc (4 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez $b$ par $4$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Étape 6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Étape 6.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{2}$

Étape 7

La période de la fonction $\csc (4 x)$ est $\frac{π}{2}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{2}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{16} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{16} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$