Trigonométrie Exemples

$\csc (\frac{3 π}{4}) = \sin (x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\sin (x) = \csc (\frac{3 π}{4})$ .

$\sin (x) = \csc (\frac{3 π}{4})$

Étape 2

Simplifiez l’expression en utilisant la formule $h a l f - a n g l e$ .

$\pm \sqrt{1 - \frac{\cos (2 x)}{2}} = \csc (\frac{3 π}{4})$

Étape 3

Retirez le $\pm$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{1 - \frac{\cos (2 x)}{2}} = \csc (\frac{3 π}{4})$

Étape 4

Comme les racines carrées de chaque expression sont égales, l’expression sous la racine carrée doit également être égale.

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2} = \csc (\frac{3 π}{4})$

Étape 5

Simplifiez $\csc (\frac{3 π}{4})$ .

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Étape 5.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2} = \csc (\frac{π}{4})$

Étape 5.2

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{4})$ est $\sqrt{2}$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2} = \sqrt{2}$

Étape 6

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{\cos (2 x)}{2} = \sqrt{2} - 1$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{\cos (2 x)}{2}) = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Étape 8

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 8.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.1.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{\cos (2 x)}{2})$ .

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Étape 8.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\cos (2 x)}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- \cos (2 x)}{2} = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Étape 8.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \cos (2 x)}{2} = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Étape 8.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- \cos (2 x)}{2} = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Étape 8.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - \cos (2 x) = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Étape 8.1.1.2

Multipliez.

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Étape 8.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \cos (2 x) = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Étape 8.1.1.2.2

Multipliez $\cos (2 x)$ par $1$ .

$\cos (2 x) = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

Simplifiez $- 2 (\sqrt{2} - 1)$ .

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Étape 8.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (2 x) = - 2 \sqrt{2} - 2 \cdot - 1$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\cos (2 x) = - 2 \sqrt{2} + 2$

Étape 9

Convertissez le côté droit de l’équation en son équivalent décimal.

$\cos (2 x) = - 0.82842712$

Étape 10

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$2 x = \arccos (- 0.82842712)$

Étape 11

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.1

Évaluez $\arccos (- 0.82842712)$ .

$2 x = 2.54708993$

Étape 12

Divisez chaque terme dans $2 x = 2.54708993$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 12.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 2.54708993$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2.54708993}{2}$

Étape 12.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2.54708993}{2}$

Étape 12.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2.54708993}{2}$

Étape 12.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.3.1

Divisez $2.54708993$ par $2$ .

$x = 1.27354496$

Étape 13

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$2 x = 2 (3.14159265) - 2.54708993$

Étape 14

Résolvez $x$ .

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Étape 14.1

Simplifiez

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Étape 14.1.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$2 x = 6.2831853 - 2.54708993$

Étape 14.1.2

Soustrayez $2.54708993$ de $6.2831853$ .

$2 x = 3.73609537$

Étape 14.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 3.73609537$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 14.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3.73609537$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3.73609537}{2}$

Étape 14.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 14.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3.73609537}{2}$

Étape 14.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3.73609537}{2}$

Étape 14.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.2.3.1

Divisez $3.73609537$ par $2$ .

$x = 1.86804768$

Étape 15

Déterminez la période de $\cos (2 x)$ .

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Étape 15.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 15.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 15.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 15.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 15.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 16

La période de la fonction $\cos (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.27354496 + π n, 1.86804768 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 17

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\csc (\frac{3 π}{4}) = \sin (x)$ vrai.

Aucune solution