Trigonométrie Exemples

$\cot (x) \sec (x) = 2 \cot (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\cot (x) \sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = 2 \cot (x)$

Étape 1.1.2

Annulez les facteurs communs.

$\frac{1}{\sin (x)} = 2 \cot (x)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Simplifiez $2 \cot (x)$ .

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\sin (x)} = 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.1.2

Associez $2$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} = \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \sin (x) \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \sin (x) \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$1 = 2 \cos (x)$

Étape 6

Réécrivez l’équation comme $2 \cos (x) = 1$ .

$2 \cos (x) = 1$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Étape 8

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 9

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 10

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 11

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 11.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 11.2

Associez les fractions.

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Étape 11.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 11.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 11.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 11.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 12

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 12.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 12.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 12.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 12.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 13

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$