Trigonométrie Exemples

$\cos (2 x) + 18 \sin^{2} (x) = 13$

Étape 1

Soustrayez $13$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (2 x) + 18 \sin^{2} (x) - 13 = 0$

Étape 2

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) - 13 = 0$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) - 13 = - 1$

Étape 3.2

Ajoutez $13$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) = - 1 + 13$

Étape 4

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Additionnez $- 2 \sin^{2} (x)$ et $18 \sin^{2} (x)$ .

$16 \sin^{2} (x) = - 1 + 13$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Additionnez $- 1$ et $13$ .

$16 \sin^{2} (x) = 12$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $16 \sin^{2} (x) = 12$ par $16$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Divisez chaque terme dans $16 \sin^{2} (x) = 12$ par $16$ .

$\frac{16 \sin^{2} (x)}{16} = \frac{12}{16}$

Étape 6.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 \sin^{2} (x)}{16} = \frac{12}{16}$

Étape 6.1.2.1.2

Divisez $\sin^{2} (x)$ par $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{12}{16}$

Étape 6.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.1

Annulez le facteur commun à $12$ et $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{4 (3)}{16}$

Étape 6.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Étape 6.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin^{2} (x) = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Étape 6.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Étape 6.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Étape 6.3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 6.3.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 6.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 6.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 6.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 6.5

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 6.6

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 6.6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 6.6.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{3}$

Étape 6.6.4

Simplifiez $π - \frac{π}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.6.4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.6.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 6.6.4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.4.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Étape 6.6.4.3.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 6.6.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.6.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.6.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6.7

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 6.7.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ est $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Étape 6.7.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Étape 6.7.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Étape 6.7.4.2

L’angle résultant de $\frac{4 π}{3}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 6.7.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.7.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.7.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{3}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Étape 6.7.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.7.6.3

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.7.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 6.7.6.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.6.4.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Étape 6.7.6.4.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Étape 6.7.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 6.7.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6.8

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6.9

Consolidez les solutions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.9.1

Consolidez $\frac{π}{3} + 2 π n$ et $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6.9.2

Consolidez $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ et $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$