Trigonométrie Exemples

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos (67.5)}{2}}$

Étape 1

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 + \cos (67.5)}{2}}$ .

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\cos (67.5)$ est $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez $67.5$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{135}{2})}{2}}$

Étape 1.1.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}}{2}}$

Étape 1.1.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le cosinus est positif dans le premier quadrant.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}}{2}}$

Étape 1.1.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}$ .

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Étape 1.1.4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}}}{2}}$

Étape 1.1.4.2

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

Étape 1.1.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

Étape 1.1.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

Étape 1.1.4.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}{2}}$

Étape 1.1.4.6

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.4.6.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}{2}}$

Étape 1.1.4.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}}{2}}$

Étape 1.1.4.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}}{2}}$

Étape 1.1.4.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.4.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}}{2}}$

Étape 1.1.4.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

Étape 1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

Étape 1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}}$

Étape 1.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{4}}$

Étape 1.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{\sqrt{4}}$

Étape 1.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 1.7.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{2}$

Étape 2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{x}{2} = \arccos (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{2})$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

Évaluez $\arccos (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{2})$ .

$\frac{x}{2} = 33.75$

Étape 4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 33.75$

Étape 5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 33.75$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \cdot 33.75$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Multipliez $2$ par $33.75$ .

$x = 67.5$

Étape 6

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $360$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{x}{2} = 360 - 33.75$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (360 - 33.75)$

Étape 7.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 (360 - 33.75)$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (360 - 33.75)$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez $2 (360 - 33.75)$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Soustrayez $33.75$ de $360$ .

$x = 2 \cdot 326.25$

Étape 7.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $326.25$ .

$x = 652.5$

Étape 8

Déterminez la période de $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 8.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{360}{\frac{1}{2}}$

Étape 8.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$360 \cdot 2$

Étape 8.5

Multipliez $360$ par $2$ .

$720$

Étape 9

La période de la fonction $\cos (\frac{x}{2})$ est $720$ si bien que les valeurs se répètent tous les $720$ degrés dans les deux sens.

$x = 67.5 + 720 n, 652.5 + 720 n$ , pour tout entier $n$