Trigonométrie Exemples

$\cos (\frac{π}{2} + x) - \sin (\frac{π}{2} + x) = 0$

Étape 1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (\frac{π}{2} + x)$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2} + x)}{\cos (\frac{π}{2} + x)} + \frac{- \sin (\frac{π}{2} + x)}{\cos (\frac{π}{2} + x)} = \frac{0}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$

Étape 2

Annulez le facteur commun de $\cos (\frac{π}{2} + x)$ .

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (\frac{π}{2} + x)}{\cos (\frac{π}{2} + x)} + \frac{- \sin (\frac{π}{2} + x)}{\cos (\frac{π}{2} + x)} = \frac{0}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$

Étape 2.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{- \sin (\frac{π}{2} + x)}{\cos (\frac{π}{2} + x)} = \frac{0}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$

Étape 3

Séparez les fractions.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{2} + x)}{\cos (\frac{π}{2} + x)} = \frac{0}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$

Étape 4

Convertissez de $\frac{\sin (\frac{π}{2} + x)}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$ à $\tan (\frac{π}{2} + x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (\frac{π}{2} + x) = \frac{0}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$

Étape 5

Divisez $- 1$ par $1$ .

$1 - \tan (\frac{π}{2} + x) = \frac{0}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$

Étape 6

Séparez les fractions.

$1 - \tan (\frac{π}{2} + x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$

Étape 7

Convertissez de $\frac{1}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$ à $\sec (\frac{π}{2} + x)$ .

$1 - \tan (\frac{π}{2} + x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (\frac{π}{2} + x)$

Étape 8

Divisez $0$ par $1$ .

$1 - \tan (\frac{π}{2} + x) = 0 \sec (\frac{π}{2} + x)$

Étape 9

Multipliez $0$ par $\sec (\frac{π}{2} + x)$ .

$1 - \tan (\frac{π}{2} + x) = 0$

Étape 10

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \tan (\frac{π}{2} + x) = - 1$

Étape 11

Divisez chaque terme dans $- \tan (\frac{π}{2} + x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 11.1

Divisez chaque terme dans $- \tan (\frac{π}{2} + x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \tan (\frac{π}{2} + x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 11.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\tan (\frac{π}{2} + x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 11.2.2

Divisez $\tan (\frac{π}{2} + x)$ par $1$ .

$\tan (\frac{π}{2} + x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\tan (\frac{π}{2} + x) = 1$

Étape 12

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$\frac{π}{2} + x = \arctan (1)$

Étape 13

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{2} + x = \frac{π}{4}$

Étape 14

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 14.1

Soustrayez $\frac{π}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{π}{4} - \frac{π}{2}$

Étape 14.2

Pour écrire $- \frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{4} - \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 14.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 14.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{4} - \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 14.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{π}{4} - \frac{π \cdot 2}{4}$

Étape 14.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π - π \cdot 2}{4}$

Étape 14.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{π - 2 π}{4}$

Étape 14.5.2

Soustrayez $2 π$ de $π$ .

$x = \frac{- π}{4}$

Étape 14.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 15

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{π}{2} + x = π + \frac{π}{4}$

Étape 16

Résolvez $x$ .

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Étape 16.1

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 16.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{2} + x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 16.1.2

Associez les fractions.

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Étape 16.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{2} + x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 16.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π}{2} + x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 16.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.1.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{π}{2} + x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 16.1.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$\frac{π}{2} + x = \frac{5 π}{4}$

Étape 16.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 16.2.1

Soustrayez $\frac{π}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{5 π}{4} - \frac{π}{2}$

Étape 16.2.2

Pour écrire $- \frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4} - \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 16.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 16.2.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4} - \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 16.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{5 π}{4} - \frac{π \cdot 2}{4}$

Étape 16.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{5 π - π \cdot 2}{4}$

Étape 16.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{5 π - 2 π}{4}$

Étape 16.2.5.2

Soustrayez $2 π$ de $5 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 17

Déterminez la période de $\tan (\frac{π}{2} + x)$ .

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Étape 17.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 17.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 17.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 17.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 18

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 18.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Étape 18.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 18.3

Associez les fractions.

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Étape 18.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 18.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 18.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 18.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 18.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 18.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 19

La période de la fonction $\tan (\frac{π}{2} + x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 20

Consolidez les réponses.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$