Trigonométrie Exemples

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - \sin^{2} (3 y)$

Étape 1

Simplifiez $\cos^{2} (3 y) - \sin^{2} (3 y)$ .

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Étape 1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (3 y)$ et $b = \sin (3 y)$ .

$\cos (6 y) = (\cos (3 y) + \sin (3 y)) (\cos (3 y) - \sin (3 y))$

Étape 1.2

Développez $(\cos (3 y) + \sin (3 y)) (\cos (3 y) - \sin (3 y))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (6 y) = \cos (3 y) (\cos (3 y) - \sin (3 y)) + \sin (3 y) (\cos (3 y) - \sin (3 y))$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (6 y) = \cos (3 y) \cos (3 y) + \cos (3 y) (- \sin (3 y)) + \sin (3 y) (\cos (3 y) - \sin (3 y))$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (6 y) = \cos (3 y) \cos (3 y) + \cos (3 y) (- \sin (3 y)) + \sin (3 y) \cos (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Étape 1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.1

Associez les termes opposés dans $\cos (3 y) \cos (3 y) + \cos (3 y) (- \sin (3 y)) + \sin (3 y) \cos (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$ .

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Étape 1.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\cos (3 y) (- \sin (3 y))$ et $\sin (3 y) \cos (3 y)$ .

$\cos (6 y) = \cos (3 y) \cos (3 y) - \cos (3 y) \sin (3 y) + \cos (3 y) \sin (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Étape 1.3.1.2

Additionnez $- \cos (3 y) \sin (3 y)$ et $\cos (3 y) \sin (3 y)$ .

$\cos (6 y) = \cos (3 y) \cos (3 y) + 0 + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Étape 1.3.1.3

Additionnez $\cos (3 y) \cos (3 y)$ et $0$ .

$\cos (6 y) = \cos (3 y) \cos (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Étape 1.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $\cos (3 y) \cos (3 y)$ .

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Étape 1.3.2.1.1

Élevez $\cos (3 y)$ à la puissance $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{1} (3 y) \cos (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Étape 1.3.2.1.2

Élevez $\cos (3 y)$ à la puissance $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{1} (3 y) \cos^{1} (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Étape 1.3.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (6 y) = {\cos (3 y)}^{1 + 1} + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Étape 1.3.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) + \sin (3 y) (- \sin (3 y))$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - \sin (3 y) \sin (3 y)$

Étape 1.3.2.3

Multipliez $- \sin (3 y) \sin (3 y)$ .

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Étape 1.3.2.3.1

Élevez $\sin (3 y)$ à la puissance $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - (\sin^{1} (3 y) \sin (3 y))$

Étape 1.3.2.3.2

Élevez $\sin (3 y)$ à la puissance $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - (\sin^{1} (3 y) \sin^{1} (3 y))$

Étape 1.3.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - {\sin (3 y)}^{1 + 1}$

Étape 1.3.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (6 y) = \cos^{2} (3 y) - \sin^{2} (3 y)$

Étape 1.4

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\cos (6 y) = \cos (2 (3 y))$

Étape 1.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$\cos (6 y) = \cos (6 y)$

Étape 2

Pour que les deux fonctions soient égales, leurs arguments doivent être égaux.

$6 y = 6 y$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $6 y$ des deux côtés de l’équation.

$6 y - 6 y = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $6 y$ de $6 y$ .

$0 = 0$

Étape 4

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $y$ .

Tous les nombres réels

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$