Trigonométrie Exemples

$\cos (3 x - \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$3 x - \frac{π}{3} = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{π}{4}$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Ajoutez $\frac{π}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = \frac{π}{4} + \frac{π}{3}$

Étape 3.2

Pour écrire $\frac{π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 3.3

Pour écrire $\frac{π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 3.4.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$3 x = \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 3.4.3

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Étape 3.4.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$3 x = \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12}$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x = \frac{π \cdot 3 + π \cdot 4}{12}$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$3 x = \frac{3 \cdot π + π \cdot 4}{12}$

Étape 3.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$3 x = \frac{3 π + 4 \cdot π}{12}$

Étape 3.6.3

Additionnez $3 π$ et $4 π$ .

$3 x = \frac{7 π}{12}$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{7 π}{12}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{7 π}{12}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{12}}{3}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{12}}{3}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{12}}{3}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{7 π}{12} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{7 π}{12} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $\frac{7 π}{12}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{12 \cdot 3}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $12$ par $3$ .

$x = \frac{7 π}{36}$

Étape 5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$3 x - \frac{π}{3} = 2 π - \frac{π}{4}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Simplifiez $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 6.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{3} = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 6.1.2

Associez les fractions.

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Étape 6.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 6.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 6.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{8 π - π}{4}$

Étape 6.1.3.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{7 π}{4}$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.2.1

Ajoutez $\frac{π}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = \frac{7 π}{4} + \frac{π}{3}$

Étape 6.2.2

Pour écrire $\frac{7 π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 6.2.3

Pour écrire $\frac{π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 6.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.4.1

Multipliez $\frac{7 π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{7 π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 6.2.4.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$3 x = \frac{7 π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 6.2.4.3

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{7 π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Étape 6.2.4.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$3 x = \frac{7 π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12}$

Étape 6.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x = \frac{7 π \cdot 3 + π \cdot 4}{12}$

Étape 6.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.6.1

Multipliez $3$ par $7$ .

$3 x = \frac{21 π + π \cdot 4}{12}$

Étape 6.2.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$3 x = \frac{21 π + 4 \cdot π}{12}$

Étape 6.2.6.3

Additionnez $21 π$ et $4 π$ .

$3 x = \frac{25 π}{12}$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{25 π}{12}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{25 π}{12}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{25 π}{12}}{3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{25 π}{12}}{3}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{25 π}{12}}{3}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{25 π}{12} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 6.3.3.2

Multipliez $\frac{25 π}{12} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 6.3.3.2.1

Multipliez $\frac{25 π}{12}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{25 π}{12 \cdot 3}$

Étape 6.3.3.2.2

Multipliez $12$ par $3$ .

$x = \frac{25 π}{36}$

Étape 7

Déterminez la période de $\cos (3 x - \frac{π}{3})$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $3$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Étape 7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Étape 8

La période de la fonction $\cos (3 x - \frac{π}{3})$ est $\frac{2 π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{2 π}{3}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{36} + \frac{2 π n}{3}, \frac{25 π}{36} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$