Trigonométrie Exemples

$6 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) - 6 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\sin (x)$ par $u$ .

$6 u^{2} + 5 u - 6 = 0$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 6 \cdot - 6 = - 36$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 u$ .

$6 u^{2} + 5 (u) - 6 = 0$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $5$ comme $- 4$ plus $9$

$6 u^{2} + (- 4 + 9) u - 6 = 0$

Étape 1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 u^{2} - 4 u + 9 u - 6 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(6 u^{2} - 4 u) + 9 u - 6 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 u (3 u - 2) + 3 (3 u - 2) = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 u - 2$ .

$(3 u - 2) (2 u + 3) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$(3 \sin (x) - 2) (2 \sin (x) + 3) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 \sin (x) - 2 = 0$

$2 \sin (x) + 3 = 0$

Étape 3

Définissez $3 \sin (x) - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $3 \sin (x) - 2$ égal à $0$ .

$3 \sin (x) - 2 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $3 \sin (x) - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 \sin (x) = 2$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 \sin (x) = 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 \sin (x) = 2$ par $3$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{2}{3}$

Étape 3.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{2}{3})$

Étape 3.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.4.1

Évaluez $\arcsin (\frac{2}{3})$ .

$x = 0.72972765$

Étape 3.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = (3.14159265) - 0.72972765$

Étape 3.2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.6.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 - 0.72972765$

Étape 3.2.6.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) - 0.72972765$

Étape 3.2.6.3

Soustrayez $0.72972765$ de $3.14159265$ .

$x = 2.41186499$

Étape 3.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.72972765 + 2 π n, 2.41186499 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $2 \sin (x) + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $2 \sin (x) + 3$ égal à $0$ .

$2 \sin (x) + 3 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $2 \sin (x) + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sin (x) = - 3$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = - 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 3}{2}$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{3}{2}$

Étape 4.2.3

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- \frac{3}{2}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 \sin (x) - 2) (2 \sin (x) + 3) = 0$ vraie.

$x = 0.72972765 + 2 π n, 2.41186499 + 2 π n$ , pour tout entier $n$