Trigonométrie Exemples

$5 y + 12 = - \frac{8}{y}$

Étape 1

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$5 y = - \frac{8}{y} - 12$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, y, 1$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $5 y = - \frac{8}{y} - 12$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $5 y = - \frac{8}{y} - 12$ par $y$ .

$5 y \cdot y = - \frac{8}{y} y - 12 y$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.1

Déplacez $y$ .

$5 (y \cdot y) = - \frac{8}{y} y - 12 y$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$5 y^{2} = - \frac{8}{y} y - 12 y$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8}{y}$ dans le numérateur.

$5 y^{2} = \frac{- 8}{y} y - 12 y$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$5 y^{2} = \frac{- 8}{y} y - 12 y$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$5 y^{2} = - 8 - 12 y$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Ajoutez $12 y$ aux deux côtés de l’équation.

$5 y^{2} + 12 y = - 8$

Étape 4.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$5 y^{2} + 12 y + 8 = 0$

Étape 4.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.4

Remplacez les valeurs $a = 5$ , $b = 12$ et $c = 8$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 8)}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 5 \cdot 8}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 5 \cdot 8$ .

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Étape 4.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 20 \cdot 8}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.5.1.2.2

Multipliez $- 20$ par $8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 160}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.5.1.3

Soustrayez $160$ de $144$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.5.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.5.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \frac{- 12 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 5}$

Étape 4.5.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{- 12 \pm 4 i}{2 \cdot 5}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = \frac{- 12 \pm 4 i}{10}$

Étape 4.5.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 4 i}{10}$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 i}{5}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{6}{5} + \frac{2 i}{5}, - \frac{6}{5} - \frac{2 i}{5}$