Trigonométrie Exemples

$5 \sin (3 x) + 6 \cos (3 x) = 1$

Étape 1

Utilisez l’identité pour résoudre l’équation. Dans cette identité, $θ$ représente l’angle créé en reportant le point $(a, b)$ sur un graphe et peut donc être trouvé en utilisant $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ où $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ et $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Étape 2

Définissez l’équation pour déterminer la valeur de $θ$ .

$\tan^{-1} (\frac{6}{5})$

Étape 3

Évaluez $\tan^{-1} (\frac{6}{5})$ .

$θ = 0.87605805$

Étape 4

Résolvez pour déterminer la valeur de $R$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$R = \sqrt{25 + {(6)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$R = \sqrt{25 + 36}$

Étape 4.3

Additionnez $25$ et $36$ .

$R = \sqrt{61}$

Étape 5

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$(\sqrt{61}) \sin (3 x + 0.87605805) = 1$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805) = 1$ par $\sqrt{61}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805) = 1$ par $\sqrt{61}$ .

$\frac{\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805)}{\sqrt{61}} = \frac{1}{\sqrt{61}}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{61}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805)}{\sqrt{61}} = \frac{1}{\sqrt{61}}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $\sin (3 x + 0.87605805)$ par $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{1}{\sqrt{61}}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{61}}$ par $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{1}{\sqrt{61}} \cdot \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$

Étape 6.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{61}}$ par $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61} \sqrt{61}}$

Étape 6.3.2.2

Élevez $\sqrt{61}$ à la puissance $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} \sqrt{61}}$

Étape 6.3.2.3

Élevez $\sqrt{61}$ à la puissance $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} {\sqrt{61}}^{1}}$

Étape 6.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{2}}$

Étape 6.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{61}}^{2}$ comme $61$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{61}$ comme $61^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{(61^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{1}}$

Étape 6.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61}$

Étape 7

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$3 x + 0.87605805 = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{61}}{61})$

Étape 8

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Évaluez $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{61}}{61})$ .

$3 x + 0.87605805 = 0.12838931$

Étape 9

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Soustrayez $0.87605805$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = 0.12838931 - 0.87605805$

Étape 9.2

Soustrayez $0.87605805$ de $0.12838931$ .

$3 x = - 0.74766873$

Étape 10

Divisez chaque terme dans $3 x = - 0.74766873$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 0.74766873$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 0.74766873}{3}$

Étape 10.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 0.74766873}{3}$

Étape 10.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 0.74766873}{3}$

Étape 10.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Divisez $- 0.74766873$ par $3$ .

$x = - 0.24922291$

Étape 11

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$3 x + 0.87605805 = (3.14159265) - 0.12838931$

Étape 12

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Soustrayez $0.12838931$ de $3.14159265$ .

$3 x + 0.87605805 = 3.01320333$

Étape 12.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Soustrayez $0.87605805$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = 3.01320333 - 0.87605805$

Étape 12.2.2

Soustrayez $0.87605805$ de $3.01320333$ .

$3 x = 2.13714528$

Étape 12.3

Divisez chaque terme dans $3 x = 2.13714528$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 2.13714528$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2.13714528}{3}$

Étape 12.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2.13714528}{3}$

Étape 12.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2.13714528}{3}$

Étape 12.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.3.1

Divisez $2.13714528$ par $3$ .

$x = 0.71238176$

Étape 13

Déterminez la période de $\sin (3 x + 0.87605805)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 13.2

Remplacez $b$ par $3$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Étape 13.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Étape 14

Ajoutez $\frac{2 π}{3}$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Ajoutez $\frac{2 π}{3}$ à $- 0.24922291$ pour déterminer l’angle positif.

$- 0.24922291 + \frac{2 π}{3}$

Étape 14.2

Soustrayez $0.24922291$ de $\frac{2 π}{3}$ .

$1.84517219$

Étape 14.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 1.84517219$

Étape 15

La période de la fonction $\sin (3 x + 0.87605805)$ est $\frac{2 π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{2 π}{3}$ radians dans les deux sens.

$x = 0.71238176 + \frac{2 π n}{3}, 1.84517219 + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$