Trigonométrie Exemples

$5 \log (x + 1) + 10 = 10 \log (t + 1) + 5$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$5 \log (x + 1) - 10 \log (t + 1) = - 10 + 5$

Étape 2

Additionnez $- 10$ et $5$ .

$5 \log (x + 1) - 10 \log (t + 1) = - 5$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $5 \log (x + 1) - 10 \log (t + 1)$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Simplifiez $5 \log (x + 1)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$\log ({(x + 1)}^{5}) - 10 \log (t + 1) = - 5$

Étape 3.1.1.2

Simplifiez $- 10 \log (t + 1)$ en déplaçant $10$ dans le logarithme.

$\log ({(x + 1)}^{5}) - \log ({(t + 1)}^{10}) = - 5$

Étape 3.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{{(x + 1)}^{5}}{{(t + 1)}^{10}}) = - 5$

Étape 4

Réécrivez $\log (\frac{{(x + 1)}^{5}}{{(t + 1)}^{10}}) = - 5$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{- 5} = \frac{{(x + 1)}^{5}}{{(t + 1)}^{10}}$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{{(x + 1)}^{5}}{{(t + 1)}^{10}} = 10^{- 5}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{5}}{{(t + 1)}^{10}} = 10^{- 5}$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés par ${(t + 1)}^{10}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{5}}{{(t + 1)}^{10}} {(t + 1)}^{10} = 10^{- 5} {(t + 1)}^{10}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.1

Annulez le facteur commun de ${(t + 1)}^{10}$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x + 1)}^{5}}{{(t + 1)}^{10}} {(t + 1)}^{10} = 10^{- 5} {(t + 1)}^{10}$

Étape 5.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 1)}^{5} = 10^{- 5} {(t + 1)}^{10}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez $10^{- 5} {(t + 1)}^{10}$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(x + 1)}^{5} = \frac{1}{10^{5}} {(t + 1)}^{10}$

Étape 5.3.2.1.2

Élevez $10$ à la puissance $5$ .

${(x + 1)}^{5} = \frac{1}{100000} {(t + 1)}^{10}$

Étape 5.3.2.1.3

Associez $\frac{1}{100000}$ et ${(t + 1)}^{10}$ .

${(x + 1)}^{5} = \frac{{(t + 1)}^{10}}{100000}$

Étape 5.4

Résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + 1 = \sqrt[5]{\frac{{(t + 1)}^{10}}{100000}}$

Étape 5.4.2

Simplifiez $\sqrt[5]{\frac{{(t + 1)}^{10}}{100000}}$ .

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Étape 5.4.2.1

Réécrivez ${(t + 1)}^{10}$ comme ${({(t + 1)}^{2})}^{5}$ .

$x + 1 = \sqrt[5]{\frac{{({(t + 1)}^{2})}^{5}}{100000}}$

Étape 5.4.2.2

Réécrivez $100000$ comme $10^{5}$ .

$x + 1 = \sqrt[5]{\frac{{({(t + 1)}^{2})}^{5}}{10^{5}}}$

Étape 5.4.2.3

Réécrivez $\frac{{({(t + 1)}^{2})}^{5}}{10^{5}}$ comme ${(\frac{{(t + 1)}^{2}}{10})}^{5}$ .

$x + 1 = \sqrt[5]{{(\frac{{(t + 1)}^{2}}{10})}^{5}}$

Étape 5.4.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x + 1 = \frac{{(t + 1)}^{2}}{10}$

Étape 5.4.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{{(t + 1)}^{2}}{10} - 1$

Étape 5.4.4

Simplifiez $\frac{{(t + 1)}^{2}}{10} - 1$ .

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Étape 5.4.4.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{{(t + 1)}^{2}}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}$

Étape 5.4.4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.4.4.2.1

Associez $- 1$ et $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{{(t + 1)}^{2}}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}$

Étape 5.4.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{{(t + 1)}^{2} - 1 \cdot 10}{10}$

Étape 5.4.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.4.3.1

Réécrivez ${(t + 1)}^{2}$ comme $(t + 1) (t + 1)$ .

$x = \frac{(t + 1) (t + 1) - 1 \cdot 10}{10}$

Étape 5.4.4.3.2

Développez $(t + 1) (t + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.4.4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{t (t + 1) + 1 (t + 1) - 1 \cdot 10}{10}$

Étape 5.4.4.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{t \cdot t + t \cdot 1 + 1 (t + 1) - 1 \cdot 10}{10}$

Étape 5.4.4.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{t \cdot t + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1 - 1 \cdot 10}{10}$

Étape 5.4.4.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.4.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.4.3.3.1.1

Multipliez $t$ par $t$ .

$x = \frac{t^{2} + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1 - 1 \cdot 10}{10}$

Étape 5.4.4.3.3.1.2

Multipliez $t$ par $1$ .

$x = \frac{t^{2} + t + 1 t + 1 \cdot 1 - 1 \cdot 10}{10}$

Étape 5.4.4.3.3.1.3

Multipliez $t$ par $1$ .

$x = \frac{t^{2} + t + t + 1 \cdot 1 - 1 \cdot 10}{10}$

Étape 5.4.4.3.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$x = \frac{t^{2} + t + t + 1 - 1 \cdot 10}{10}$

Étape 5.4.4.3.3.2

Additionnez $t$ et $t$ .

$x = \frac{t^{2} + 2 t + 1 - 1 \cdot 10}{10}$

Étape 5.4.4.3.4

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$x = \frac{t^{2} + 2 t + 1 - 10}{10}$

Étape 5.4.4.3.5

Soustrayez $10$ de $1$ .

$x = \frac{t^{2} + 2 t - 9}{10}$