Trigonométrie Exemples

$9 \sin^{2} (x) \tan (x) = 16 \tan (x)$

Étape 1

Soustrayez $16 \tan (x)$ des deux côtés de l’équation.

$9 \sin^{2} (x) \tan (x) - 16 \tan (x) = 0$

Étape 2

Factorisez $9 \sin^{2} (x) \tan (x) - 16 \tan (x)$ .

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Étape 2.1

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $9 \sin^{2} (x) \tan (x) - 16 \tan (x)$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $9 \sin^{2} (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) (9 \sin^{2} (x)) - 16 \tan (x) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $- 16 \tan (x)$ .

$\tan (x) (9 \sin^{2} (x)) + \tan (x) \cdot - 16 = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $\tan (x) (9 \sin^{2} (x)) + \tan (x) \cdot - 16$ .

$\tan (x) (9 \sin^{2} (x) - 16) = 0$

Étape 2.2

Réécrivez $9 \sin^{2} (x)$ comme ${(3 \sin (x))}^{2}$ .

$\tan (x) ({(3 \sin (x))}^{2} - 16) = 0$

Étape 2.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\tan (x) ({(3 \sin (x))}^{2} - 4^{2}) = 0$

Étape 2.4

Factorisez.

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Étape 2.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 \sin (x)$ et $b = 4$ .

$\tan (x) ((3 \sin (x) + 4) (3 \sin (x) - 4)) = 0$

Étape 2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\tan (x) (3 \sin (x) + 4) (3 \sin (x) - 4) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\tan (x) = 0$

$3 \sin (x) + 4 = 0$

$3 \sin (x) - 4 = 0$

Étape 4

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ .

$\tan (x) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\tan (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (0)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4.2.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + 0$

Étape 4.2.4

Additionnez $π$ et $0$ .

$x = π$

Étape 4.2.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 4.2.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $3 \sin (x) + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $3 \sin (x) + 4$ égal à $0$ .

$3 \sin (x) + 4 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $3 \sin (x) + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$3 \sin (x) = - 4$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 \sin (x) = - 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 \sin (x) = - 4$ par $3$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 4}{3}$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{4}{3}$

Étape 5.2.3

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- \frac{4}{3}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\tan (x) (3 \sin (x) + 4) (3 \sin (x) - 4) = 0$ vraie.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$