Trigonométrie Exemples

$8 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) = 2$

Étape 1

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

$8 {(u)}^{2} - 4 u = 2$

Étape 2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$8 u^{2} - 4 u - 2 = 0$

Étape 3

Factorisez $2$ à partir de $8 u^{2} - 4 u - 2$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $8 u^{2}$ .

$2 (4 u^{2}) - 4 u - 2 = 0$

Étape 3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 u$ .

$2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u) - 2 = 0$

Étape 3.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u) + 2 (- 1) = 0$

Étape 3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u)$ .

$2 (4 u^{2} - 2 u) + 2 (- 1) = 0$

Étape 3.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 u^{2} - 2 u) + 2 (- 1)$ .

$2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (4 u^{2} - 2 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 u^{2} - 2 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $4 u^{2} - 2 u - 1$ par $1$ .

$4 u^{2} - 2 u - 1 = \frac{0}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$4 u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Étape 5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 2$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.3

Additionnez $4$ et $16$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Étape 9

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Étape 10

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Étape 11

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ .

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Étape 11.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{5}}{4})$

Étape 11.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.1

Évaluez $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ .

$x = \frac{3 π}{10}$

Étape 11.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{3 π}{10}$

Étape 11.4

Simplifiez $π - \frac{3 π}{10}$ .

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Étape 11.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$x = π \cdot \frac{10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Étape 11.4.2

Associez les fractions.

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Étape 11.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{π \cdot 10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Étape 11.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 10 - 3 π}{10}$

Étape 11.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.4.3.1

Déplacez $10$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{10 \cdot π - 3 π}{10}$

Étape 11.4.3.2

Soustrayez $3 π$ de $10 π$ .

$x = \frac{7 π}{10}$

Étape 11.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 11.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 11.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 11.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 11.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 11.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{10} + 2 π n, \frac{7 π}{10} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ .

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Étape 12.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{4})$

Étape 12.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.1

Évaluez $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{4})$ .

$x = - \frac{π}{10}$

Étape 12.3

$x = π + \frac{π}{10}$

Étape 12.4

Simplifiez $π + \frac{π}{10}$ .

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Étape 12.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$x = π \cdot \frac{10}{10} + \frac{π}{10}$

Étape 12.4.2

Associez les fractions.

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Étape 12.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{π \cdot 10}{10} + \frac{π}{10}$

Étape 12.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 10 + π}{10}$

Étape 12.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.4.3.1

Déplacez $10$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{10 \cdot π + π}{10}$

Étape 12.4.3.2

Additionnez $10 π$ et $π$ .

$x = \frac{11 π}{10}$

Étape 12.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 12.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 12.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 12.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 12.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 12.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 12.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{10}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{10} + 2 π$

Étape 12.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$2 π \cdot \frac{10}{10} - \frac{π}{10}$

Étape 12.6.3

Associez les fractions.

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Étape 12.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2 π \cdot 10}{10} - \frac{π}{10}$

Étape 12.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 10 - π}{10}$

Étape 12.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.6.4.1

Multipliez $10$ par $2$ .

$\frac{20 π - π}{10}$

Étape 12.6.4.2

Soustrayez $π$ de $20 π$ .

$\frac{19 π}{10}$

Étape 12.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{19 π}{10}$

Étape 12.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{11 π}{10} + 2 π n, \frac{19 π}{10} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{3 π}{10} + 2 π n, \frac{7 π}{10} + 2 π n, \frac{11 π}{10} + 2 π n, \frac{19 π}{10} + 2 π n$ , pour tout entier $n$