Trigonométrie Exemples

$8 \sin^{2} (\frac{x}{2}) - 10 \sin (\frac{x}{2}) + 3 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \sin (\frac{x}{2})$ . Remplacez toutes les occurrences de $\sin (\frac{x}{2})$ par $u$ .

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ et dont la somme est $b = - 10$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $- 10$ à partir de $- 10 u$ .

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $- 10$ comme $- 4$ plus $- 6$

$8 u^{2} + (- 4 - 6) u + 3 = 0$

Étape 1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 u^{2} - 4 u - 6 u + 3 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(8 u^{2} - 4 u) - 6 u + 3 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$4 u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1) = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (4 u - 3) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (\frac{x}{2})$ .

$(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

Étape 3

Définissez $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ égal à $0$ .

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (\frac{x}{2})$ par $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 3.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6}$

Étape 3.2.5

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

Étape 3.2.6

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.6.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.6.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.6.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

Étape 3.2.6.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \frac{π}{6}$

Étape 3.2.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.6.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Étape 3.2.6.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Étape 3.2.6.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{π}{3}$

Étape 3.2.7

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{6}$

Étape 3.2.8

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.8.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

Étape 3.2.8.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.8.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

Étape 3.2.8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (π - \frac{π}{6})$

Étape 3.2.8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.8.2.2.1

Simplifiez $2 (π - \frac{π}{6})$ .

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Étape 3.2.8.2.2.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

Étape 3.2.8.2.2.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.8.2.2.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

Étape 3.2.8.2.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 3.2.8.2.2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.8.2.2.1.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 (3)}$

Étape 3.2.8.2.2.1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

Étape 3.2.8.2.2.1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{3}$

Étape 3.2.8.2.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.8.2.2.1.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{3}$

Étape 3.2.8.2.2.1.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 3.2.9

Déterminez la période de $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Étape 3.2.9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.9.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 3.2.9.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 3.2.9.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Étape 3.2.9.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

Étape 3.2.10

La période de la fonction $\sin (\frac{x}{2})$ est $4 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $4 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ égal à $0$ .

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ par $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (\frac{x}{2})$ par $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{3}{4}$

Étape 4.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{3}{4})$

Étape 4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.4.1

Évaluez $\arcsin (\frac{3}{4})$ .

$\frac{x}{2} = 0.84806207$

Étape 4.2.5

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

Étape 4.2.6

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.2.6.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

Étape 4.2.6.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \cdot 0.84806207$

Étape 4.2.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.6.2.1

Multipliez $2$ par $0.84806207$ .

$x = 1.69612415$

Étape 4.2.7

$\frac{x}{2} = (3.14159265) - 0.84806207$

Étape 4.2.8

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.8.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

Étape 4.2.8.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.8.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

Étape 4.2.8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

Étape 4.2.8.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.8.2.2.1

Simplifiez $2 ((3.14159265) - 0.84806207)$ .

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Étape 4.2.8.2.2.1.1

Soustrayez $0.84806207$ de $3.14159265$ .

$x = 2 \cdot 2.29353057$

Étape 4.2.8.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $2.29353057$ .

$x = 4.58706114$

Étape 4.2.9

Déterminez la période de $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Étape 4.2.9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.9.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 4.2.9.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2.9.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Étape 4.2.9.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

Étape 4.2.10

La période de la fonction $\sin (\frac{x}{2})$ est $4 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $4 π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n, 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$ , pour tout entier $n$