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Trigonométrie Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Laissez . Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.2
Factorisez par regroupement.
Étape 1.2.1
Pour un polynôme de la forme , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est et dont la somme est .
Étape 1.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.1.2
Réécrivez comme plus
Étape 1.2.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.2.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Étape 1.2.2.1
Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.
Étape 1.2.2.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Étape 1.2.3
Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, .
Étape 1.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 3
Étape 3.1
Définissez égal à .
Étape 3.2
Résolvez pour .
Étape 3.2.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 3.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 3.2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 3.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 3.2.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 3.2.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 3.2.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 3.2.3
Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du sinus.
Étape 3.2.4
Simplifiez le côté droit.
Étape 3.2.4.1
La valeur exacte de est .
Étape 3.2.5
Multipliez les deux côtés de l’équation par .
Étape 3.2.6
Simplifiez les deux côtés de l’équation.
Étape 3.2.6.1
Simplifiez le côté gauche.
Étape 3.2.6.1.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 3.2.6.1.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 3.2.6.1.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 3.2.6.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 3.2.6.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 3.2.6.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.2.6.2.1.2
Annulez le facteur commun.
Étape 3.2.6.2.1.3
Réécrivez l’expression.
Étape 3.2.7
La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.
Étape 3.2.8
Résolvez .
Étape 3.2.8.1
Multipliez les deux côtés de l’équation par .
Étape 3.2.8.2
Simplifiez les deux côtés de l’équation.
Étape 3.2.8.2.1
Simplifiez le côté gauche.
Étape 3.2.8.2.1.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 3.2.8.2.1.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 3.2.8.2.1.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 3.2.8.2.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 3.2.8.2.2.1
Simplifiez .
Étape 3.2.8.2.2.1.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 3.2.8.2.2.1.2
Simplifiez les termes.
Étape 3.2.8.2.2.1.2.1
Associez et .
Étape 3.2.8.2.2.1.2.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 3.2.8.2.2.1.2.3
Annulez le facteur commun de .
Étape 3.2.8.2.2.1.2.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.2.8.2.2.1.2.3.2
Annulez le facteur commun.
Étape 3.2.8.2.2.1.2.3.3
Réécrivez l’expression.
Étape 3.2.8.2.2.1.3
Simplifiez le numérateur.
Étape 3.2.8.2.2.1.3.1
Déplacez à gauche de .
Étape 3.2.8.2.2.1.3.2
Soustrayez de .
Étape 3.2.9
Déterminez la période de .
Étape 3.2.9.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 3.2.9.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 3.2.9.3
est d’environ qui est positif, alors retirez la valeur absolue
Étape 3.2.9.4
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 3.2.9.5
Multipliez par .
Étape 3.2.10
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 4
Étape 4.1
Définissez égal à .
Étape 4.2
Résolvez pour .
Étape 4.2.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 4.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 4.2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 4.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 4.2.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 4.2.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 4.2.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 4.2.3
Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du sinus.
Étape 4.2.4
Simplifiez le côté droit.
Étape 4.2.4.1
Évaluez .
Étape 4.2.5
Multipliez les deux côtés de l’équation par .
Étape 4.2.6
Simplifiez les deux côtés de l’équation.
Étape 4.2.6.1
Simplifiez le côté gauche.
Étape 4.2.6.1.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 4.2.6.1.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 4.2.6.1.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 4.2.6.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 4.2.6.2.1
Multipliez par .
Étape 4.2.7
La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.
Étape 4.2.8
Résolvez .
Étape 4.2.8.1
Multipliez les deux côtés de l’équation par .
Étape 4.2.8.2
Simplifiez les deux côtés de l’équation.
Étape 4.2.8.2.1
Simplifiez le côté gauche.
Étape 4.2.8.2.1.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 4.2.8.2.1.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 4.2.8.2.1.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 4.2.8.2.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 4.2.8.2.2.1
Simplifiez .
Étape 4.2.8.2.2.1.1
Soustrayez de .
Étape 4.2.8.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 4.2.9
Déterminez la période de .
Étape 4.2.9.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 4.2.9.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 4.2.9.3
est d’environ qui est positif, alors retirez la valeur absolue
Étape 4.2.9.4
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 4.2.9.5
Multipliez par .
Étape 4.2.10
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 5
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
, pour tout entier