Trigonométrie Exemples

$4 \sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $4 \sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $4 \sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ par $4$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{4}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{4}$

Étape 1.2.1.2

Divisez $\sin^{2} (x)$ par $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{4}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{8}$

Étape 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{8}}$

Étape 3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{8}}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{8}}$ comme $\frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$

Étape 3.2

Réécrivez $\sqrt{\sqrt{2}}$ comme $\sqrt[4]{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{8}}$

Étape 3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{4 (2)}}$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 3.4

Multipliez $\frac{\sqrt[4]{2}}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt[4]{2}}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.5.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 3.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Étape 3.5.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Étape 3.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.5.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.5.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.5.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.5.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.5.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.5.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Étape 3.5.7.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $4$ .

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Étape 3.6.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.2

Réécrivez $2^{\frac{1}{2}}$ comme $2^{\frac{2}{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 2^{\frac{2}{4}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.3

Réécrivez $2^{\frac{2}{4}}$ comme $\sqrt[4]{2^{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt[4]{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2 \cdot 2^{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.3

Multipliez $2$ par $2^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.3.1

Multipliez $2$ par $2^{2}$ .

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Étape 3.6.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2^{1} \cdot 2^{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2^{1 + 2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2^{3}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.7.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2^{3}}}{4}$

Étape 3.7.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

Étape 4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

Étape 4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

Étape 4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{8}}{4}, - \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

Étape 5

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

Étape 6

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$ .

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Étape 6.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt[4]{8}}{4})$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

Évaluez $\arcsin (\frac{\sqrt[4]{8}}{4})$ .

$x = 0.43393925$

Étape 6.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = (3.14159265) - 0.43393925$

Étape 6.4

Résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 - 0.43393925$

Étape 6.4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) - 0.43393925$

Étape 6.4.3

Soustrayez $0.43393925$ de $3.14159265$ .

$x = 2.70765339$

Étape 6.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.43393925 + 2 π n, 2.70765339 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$ .

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Étape 7.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt[4]{8}}{4})$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

Évaluez $\arcsin (- \frac{\sqrt[4]{8}}{4})$ .

$x = - 0.43393925$

Étape 7.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) + 0.43393925 + 3.14159265$

Étape 7.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 7.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 (3.14159265) + 0.43393925 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.43393925 + 3.14159265 - 2 π$

Étape 7.4.2

L’angle résultant de $3.5755319$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 (3.14159265) + 0.43393925 + 3.14159265$ .

$x = 3.5755319$

Étape 7.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 7.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- 0.43393925$ pour déterminer l’angle positif.

$- 0.43393925 + 2 π$

Étape 7.6.2

Soustrayez $0.43393925$ de $2 π$ .

$5.84924605$

Étape 7.6.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 5.84924605$

Étape 7.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 3.5755319 + 2 π n, 5.84924605 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0.43393925 + 2 π n, 2.70765339 + 2 π n, 3.5755319 + 2 π n, 5.84924605 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les solutions.

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Étape 9.1

Consolidez $0.43393925 + 2 π n$ et $3.5755319 + 2 π n$ en $0.43393925 + π n$ .

$x = 0.43393925 + π n, 2.70765339 + 2 π n, 5.84924605 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9.2

Consolidez $2.70765339 + 2 π n$ et $5.84924605 + 2 π n$ en $2.70765339 + π n$ .

$x = 0.43393925 + π n, 2.70765339 + π n$ , pour tout entier $n$