Trigonométrie Exemples

$4 \sin^{2} (2 x) = 1$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $4 \sin^{2} (2 x) = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $4 \sin^{2} (2 x) = 1$ par $4$ .

$\frac{4 \sin^{2} (2 x)}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sin^{2} (2 x)}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 1.2.1.2

Divisez $\sin^{2} (2 x)$ par $1$ .

$\sin^{2} (2 x) = \frac{1}{4}$

Étape 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Étape 3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Étape 3.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Étape 3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{2}$

Étape 4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Étape 4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Étape 4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Étape 5

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Étape 6

Résolvez $x$ dans $\sin (2 x) = \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 6.3.3.2

Multipliez $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.3.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Étape 6.3.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Étape 6.4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Étape 6.5

Résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Simplifiez

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Étape 6.5.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 6.5.1.2

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 6.5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 6.5.1.4

Soustrayez $π$ de $π \cdot 6$ .

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Étape 6.5.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 6.5.1.4.2

Soustrayez $π$ de $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Étape 6.5.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 6.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 6.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 6.5.2.3.2

Multipliez $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.5.2.3.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Étape 6.5.2.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Étape 6.6

Déterminez la période de $\sin (2 x)$ .

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Étape 6.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.6.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 6.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 6.6.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 6.7

La période de la fonction $\sin (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Résolvez $x$ dans $\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$ .

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Étape 7.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Étape 7.3

Divisez chaque terme dans $2 x = - \frac{π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - \frac{π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Étape 7.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Étape 7.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Étape 7.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 7.3.3.2

Multipliez $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Étape 7.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Étape 7.4

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 7.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 7.5.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 7.5.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = \frac{7 π}{6}$

Étape 7.5.3

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{7 π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{7 π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Étape 7.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Étape 7.5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Étape 7.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.5.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 7.5.3.3.2

Multipliez $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 7.5.3.3.2.1

Multipliez $\frac{7 π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Étape 7.5.3.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Étape 7.6

Déterminez la période de $\sin (2 x)$ .

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Étape 7.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.6.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 7.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 7.6.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 7.7

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 7.7.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{12}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{12} + π$

Étape 7.7.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Étape 7.7.3

Associez les fractions.

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Étape 7.7.3.1

Associez $π$ et $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Étape 7.7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Étape 7.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.7.4.1

Déplacez $12$ à gauche de $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Étape 7.7.4.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Étape 7.7.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{12}$

Étape 7.8

La période de la fonction $\sin (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n, \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les solutions.

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Étape 9.1

Consolidez $\frac{π}{12} + π n$ et $\frac{7 π}{12} + π n$ en $\frac{π}{12} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9.2

Consolidez $\frac{5 π}{12} + π n$ et $\frac{11 π}{12} + π n$ en $\frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$