Trigonométrie Exemples

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sqrt{2} \cos (x) + 2 = 0$

Étape 1

Remplacez $\cos (x)$ par $u$ .

$4 {(u)}^{2} - 4 \sqrt{2} u + 2 = 0$

Étape 2

Factorisez $2$ à partir de $4 u^{2} - 4 \sqrt{2} u + 2$ .

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 u^{2}$ .

$2 (2 u^{2}) - 4 \sqrt{2} u + 2 = 0$

Étape 2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \sqrt{2} u$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (- 2 \sqrt{2} u) + 2 = 0$

Étape 2.3

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (- 2 \sqrt{2} u) + 2 (1) = 0$

Étape 2.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 u^{2}) + 2 (- 2 \sqrt{2} u)$ .

$2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u) + 2 (1) = 0$

Étape 2.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u) + 2 (1)$ .

$2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1) = 0$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1$ par $1$ .

$2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1 = \frac{0}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1 = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 2 \sqrt{2}$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 2 \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 \sqrt{2}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.5

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 6.1.5.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.5.2

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.6

Soustrayez $8$ de $8$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.7

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm 0}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.9

$2 \sqrt{2}$ plus or minus $0$ is $2 \sqrt{2}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{4}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$u = \frac{2 (\sqrt{2})}{4}$

Étape 6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$u = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7

Remplacez $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 8

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 9

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 10

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Étape 11

Simplifiez $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 11.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 11.2

Associez les fractions.

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Étape 11.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 11.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 11.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Étape 11.3.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 12

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 12.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 12.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 12.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 12.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 13

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$