Trigonométrie Exemples

$\csc (x) - \cot (x) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)}$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $\csc (x) + \cot (x)$ .

$(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x)) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} (\csc (x) + \cot (x))$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Simplifiez $(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))$ .

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Étape 2.1.1.1

Développez $(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\csc (x) (\csc (x) + \cot (x)) - \cot (x) (\csc (x) + \cot (x)) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} (\csc (x) + \cot (x))$

Étape 2.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\csc (x) \csc (x) + \csc (x) \cot (x) - \cot (x) (\csc (x) + \cot (x)) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} (\csc (x) + \cot (x))$

Étape 2.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\csc (x) \csc (x) + \csc (x) \cot (x) - \cot (x) \csc (x) - \cot (x) \cot (x) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} (\csc (x) + \cot (x))$

Étape 2.1.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1.1.2.1

Associez les termes opposés dans $\csc (x) \csc (x) + \csc (x) \cot (x) - \cot (x) \csc (x) - \cot (x) \cot (x)$ .

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Étape 2.1.1.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\csc (x) \cot (x)$ et $- \cot (x) \csc (x)$ .

$\csc (x) \csc (x) + \cot (x) \csc (x) - \cot (x) \csc (x) - \cot (x) \cot (x) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} (\csc (x) + \cot (x))$

Étape 2.1.1.2.1.2

Soustrayez $\cot (x) \csc (x)$ de $\cot (x) \csc (x)$ .

$\csc (x) \csc (x) + 0 - \cot (x) \cot (x) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} (\csc (x) + \cot (x))$

Étape 2.1.1.2.1.3

Additionnez $\csc (x) \csc (x)$ et $0$ .

$\csc (x) \csc (x) - \cot (x) \cot (x) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} (\csc (x) + \cot (x))$

Étape 2.1.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.2.2.1

Multipliez $\csc (x) \csc (x)$ .

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Étape 2.1.1.2.2.1.1

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$\csc^{1} (x) \csc (x) - \cot (x) \cot (x) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} (\csc (x) + \cot (x))$

Étape 2.1.1.2.2.1.2

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$\csc^{1} (x) \csc^{1} (x) - \cot (x) \cot (x) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} (\csc (x) + \cot (x))$

Étape 2.1.1.2.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\csc (x)}^{1 + 1} - \cot (x) \cot (x) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} (\csc (x) + \cot (x))$

Étape 2.1.1.2.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc^{2} (x) - \cot (x) \cot (x) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} (\csc (x) + \cot (x))$

Étape 2.1.1.2.2.2

Multipliez $- \cot (x) \cot (x)$ .

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Étape 2.1.1.2.2.2.1

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$\csc^{2} (x) - (\cot^{1} (x) \cot (x)) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} (\csc (x) + \cot (x))$

Étape 2.1.1.2.2.2.2

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$\csc^{2} (x) - (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} (\csc (x) + \cot (x))$

Étape 2.1.1.2.2.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc^{2} (x) - {\cot (x)}^{1 + 1} = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} (\csc (x) + \cot (x))$

Étape 2.1.1.2.2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} (\csc (x) + \cot (x))$

Étape 2.1.1.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} (\csc (x) + \cot (x))$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $\csc (x) + \cot (x)$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} (\csc (x) + \cot (x))$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = 1$

Étape 3

Comme $1 = 1$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$