Trigonométrie Exemples

$\tan (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sin (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1

Simplifiez $- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sin (x)$ .

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Étape 1.1.1

Associez $\sin (x)$ et $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sin (x) (2 \sqrt{3})}{3}$

Étape 1.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (x)$ .

$\tan (x) = - \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3}$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $\tan (x) = - \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3}$ par $\tan (x)$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $\tan (x) = - \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3}$ par $\tan (x)$ .

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} = \frac{- \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3}}{\tan (x)}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $\tan (x)$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} = \frac{- \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3}}{\tan (x)}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{- \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3}}{\tan (x)}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 = - \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\tan (x)}$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 = - \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 2.3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 = - \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3} (1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Étape 2.3.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$1 = - \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Réécrivez l’expression.

$1 = - \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3} (1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $1$ .

$1 = - \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.3.6

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 2.3.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 \sin (x) \sqrt{3}}{3}$ dans le numérateur.

$1 = \frac{- 2 \sin (x) \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.3.6.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- 2 \sin (x) \sqrt{3}$ .

$1 = \frac{\sin (x) (- 2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.3.6.3

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{\sin (x) (- 2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.3.6.4

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} \cos (x)$

Étape 2.3.7

Associez $\frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$ et $\cos (x)$ .

$1 = \frac{- 2 \sqrt{3} \cos (x)}{3}$

Étape 2.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 = - \frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3}$

Étape 3

Réécrivez l’équation comme $- \frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3} = 1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3} = 1$

Étape 4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- \frac{3}{2 \sqrt{3}}$ .

$- \frac{3}{2 \sqrt{3}} (- \frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3}) = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez $- \frac{3}{2 \sqrt{3}} (- \frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3})$ .

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Étape 5.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2 \sqrt{3}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 3}{2 \sqrt{3}} (- \frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3}) = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 5.1.1.1.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{- 3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{- 2 \sqrt{3} \cos (x)}{3} = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 5.1.1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{- 2 \sqrt{3} \cos (x)}{3} = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 5.1.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 1}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{- 2 \sqrt{3} \cos (x)}{3} = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 5.1.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{2 \sqrt{3}} (- 2 \sqrt{3} \cos (x)) = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 5.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2 \sqrt{3}$ .

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Étape 5.1.1.2.1

Factorisez $2 \sqrt{3}$ à partir de $- 2 \sqrt{3} \cos (x)$ .

$\frac{- 1}{2 \sqrt{3}} (2 \sqrt{3} (- 1 \cos (x))) = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 5.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{2 \sqrt{3}} (2 \sqrt{3} (- 1 \cos (x))) = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 5.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (- 1 \cos (x)) = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 5.1.1.3

Multipliez.

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Étape 5.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \cos (x) = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 5.1.1.3.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $- \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$ .

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = - (\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) \cdot 1$

Étape 5.2.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1.2.1

Multipliez $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 5.2.1.2.2

Déplacez $\sqrt{3}$ .

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})} \cdot 1$

Étape 5.2.1.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})} \cdot 1$

Étape 5.2.1.2.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})} \cdot 1$

Étape 5.2.1.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot 1$

Étape 5.2.1.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}} \cdot 1$

Étape 5.2.1.2.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.2.1.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 1$

Étape 5.2.1.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 1$

Étape 5.2.1.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Étape 5.2.1.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Étape 5.2.1.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}} \cdot 1$

Étape 5.2.1.2.7.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot 1$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{6} \cdot 1$

Étape 5.2.1.4

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 5.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{3}$ .

$\cos (x) = - \frac{3 (\sqrt{3})}{6} \cdot 1$

Étape 5.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2} \cdot 1$

Étape 5.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2} \cdot 1$

Étape 5.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 6

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 8

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Étape 9

Simplifiez $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

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Étape 9.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Étape 9.2

Associez les fractions.

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Étape 9.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Étape 9.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Étape 9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Étape 9.3.2

Soustrayez $5 π$ de $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 10

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 10.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 10.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 10.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 11

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$