Trigonométrie Exemples

$\sin (x) \cos (\frac{π}{7}) - \sin (\frac{π}{7}) \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Évaluez $\cos (\frac{π}{7})$ .

$\sin (x) \cdot 0.90096886 - \sin (\frac{π}{7}) \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2

Déplacez $0.90096886$ à gauche de $\sin (x)$ .

$0.90096886 \cdot \sin (x) - \sin (\frac{π}{7}) \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.3

Évaluez $\sin (\frac{π}{7})$ .

$0.90096886 \sin (x) - 1 \cdot (0.43388373 \cos (x)) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.4

Multipliez $- 1$ par $0.43388373$ .

$0.90096886 \sin (x) - 0.43388373 \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2

Utilisez l’identité pour résoudre l’équation. Dans cette identité, $θ$ représente l’angle créé en reportant le point $(a, b)$ sur un graphe et peut donc être trouvé en utilisant $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ où $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ et $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Étape 3

Définissez l’équation pour déterminer la valeur de $θ$ .

$\tan^{-1} (- \frac{0.43388373}{0.90096886})$

Étape 4

Prenez la tangente inverse pour résoudre l’équation pour $θ$ .

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Étape 4.1

Divisez $0.43388373$ par $0.90096886$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 0.48157461)$

Étape 4.2

Multipliez $- 1$ par $0.48157461$ .

$θ = \tan^{-1} (- 0.48157461)$

Étape 4.3

Évaluez $\tan^{-1} (- 0.48157461)$ .

$θ = - \frac{π}{7}$

Étape 5

Résolvez pour déterminer la valeur de $R$ .

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Étape 5.1

Élevez $0.90096886$ à la puissance $2$ .

$R = \sqrt{0.8117449 + {(- 0.43388373)}^{2}}$

Étape 5.2

Élevez $- 0.43388373$ à la puissance $2$ .

$R = \sqrt{0.8117449 + 0.18825509}$

Étape 5.3

Additionnez $0.8117449$ et $0.18825509$ .

$R = \sqrt{1}$

Étape 6

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$(\sqrt{1}) \sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\sqrt{1}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\sqrt{1}$ .

$\frac{\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7})}{\sqrt{1}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{1}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7})}{\sqrt{1}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $\sin (x - \frac{π}{7})$ par $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

Étape 7.3.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1}}$ par $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}})$

Étape 7.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1}}$ par $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1} \sqrt{1}}$

Étape 7.3.3.2

Élevez $\sqrt{1}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1} \sqrt{1}}$

Étape 7.3.3.3

Élevez $\sqrt{1}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1} {\sqrt{1}}^{1}}$

Étape 7.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1 + 1}}$

Étape 7.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{2}}$

Étape 7.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{1}}^{2}$ comme $1$ .

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Étape 7.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1}$ comme $1^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{(1^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{1}}$

Étape 7.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1}$

Étape 7.3.4

Évaluez la racine.

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Étape 7.3.5

Divisez $1$ par $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1$

Étape 7.3.6

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 8

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x - \frac{π}{7} = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 9

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.1

La valeur exacte de $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$x - \frac{π}{7} = \frac{π}{4}$

Étape 10

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.1

Ajoutez $\frac{π}{7}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π}{7}$

Étape 10.2

Pour écrire $\frac{π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7}$

Étape 10.3

Pour écrire $\frac{π}{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 10.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $28$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.4.1

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 10.4.2

Multipliez $4$ par $7$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{28} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 10.4.3

Multipliez $\frac{π}{7}$ par $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Étape 10.4.4

Multipliez $7$ par $4$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{28}$

Étape 10.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 7 + π \cdot 4}{28}$

Étape 10.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.6.1

Déplacez $7$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{7 \cdot π + π \cdot 4}{28}$

Étape 10.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{7 π + 4 \cdot π}{28}$

Étape 10.6.3

Additionnez $7 π$ et $4 π$ .

$x = \frac{11 π}{28}$

Étape 11

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x - \frac{π}{7} = π - \frac{π}{4}$

Étape 12

Résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Simplifiez $π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 12.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x - \frac{π}{7} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 12.1.2

Associez les fractions.

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Étape 12.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x - \frac{π}{7} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 12.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x - \frac{π}{7} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 12.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x - \frac{π}{7} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 12.1.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x - \frac{π}{7} = \frac{3 π}{4}$

Étape 12.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.2.1

Ajoutez $\frac{π}{7}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{π}{7}$

Étape 12.2.2

Pour écrire $\frac{3 π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7}$

Étape 12.2.3

Pour écrire $\frac{π}{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 12.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $28$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 12.2.4.1

Multipliez $\frac{3 π}{4}$ par $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 12.2.4.2

Multipliez $4$ par $7$ .

$x = \frac{3 π \cdot 7}{28} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 12.2.4.3

Multipliez $\frac{π}{7}$ par $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Étape 12.2.4.4

Multipliez $7$ par $4$ .

$x = \frac{3 π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{28}$

Étape 12.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{3 π \cdot 7 + π \cdot 4}{28}$

Étape 12.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.6.1

Multipliez $7$ par $3$ .

$x = \frac{21 π + π \cdot 4}{28}$

Étape 12.2.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{21 π + 4 \cdot π}{28}$

Étape 12.2.6.3

Additionnez $21 π$ et $4 π$ .

$x = \frac{25 π}{28}$

Étape 13

Déterminez la période de $\sin (x - \frac{π}{7})$ .

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Étape 13.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 13.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 13.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 13.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 14

La période de la fonction $\sin (x - \frac{π}{7})$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{11 π}{28} + 2 π n, \frac{25 π}{28} + 2 π n$ , pour tout entier $n$