Trigonométrie Exemples

$\sin (x) \cos (\frac{π}{2}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2}$

Étape 1

Élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(\sin (x) \cos (\frac{π}{2}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}))}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 2

Simplifiez ${(\sin (x) \cos (\frac{π}{2}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}))}^{2}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

${(\sin (x) \cdot 0 + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}))}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 2.1.2

Multipliez $\sin (x)$ par $0$ .

${(0 + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}))}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 2.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

${(0 + \cos (x) \cdot 1)}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 2.1.4

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

${(0 + \cos (x))}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 2.2

Additionnez $0$ et $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez ${(- \frac{1}{2})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$\cos^{2} (x) = {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 3.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{2} (x) = {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Étape 3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\cos^{2} (x) = 1 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Étape 3.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2^{2}}$

Étape 3.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{4}$

Étape 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Étape 5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Étape 5.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Étape 5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 5.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\cos (x) = \pm \frac{1}{2}$

Étape 6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Étape 6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Étape 7

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 8

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

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Étape 8.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 8.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 8.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 8.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 8.4.2

Associez les fractions.

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Étape 8.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 8.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 8.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 8.4.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 8.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 8.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 8.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ .

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Étape 9.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Étape 9.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{1}{2})$ est $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 9.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Étape 9.4

Simplifiez $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 9.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 9.4.2

Associez les fractions.

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Étape 9.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 9.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Étape 9.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Étape 9.4.3.2

Soustrayez $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 9.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 9.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 9.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 9.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 9.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 9.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Consolidez les solutions.

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Étape 11.1

Consolidez $\frac{π}{3} + 2 π n$ et $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11.2

Consolidez $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ et $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sin (x) \cos (\frac{π}{2}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2}$ vrai.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$