Trigonométrie Exemples

$\sin (2 x) = \sqrt{3} \cos (2 x)$

Étape 1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{\sqrt{3} \cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

Étape 2

Convertissez de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ à $\tan (2 x)$ .

$\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3} \cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $\cos (2 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3} \cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

Étape 3.2

Divisez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\tan (2 x) = \sqrt{3}$

Étape 4

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$2 x = \arctan (\sqrt{3})$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

La valeur exacte de $\arctan (\sqrt{3})$ est $\frac{π}{3}$ .

$2 x = \frac{π}{3}$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{3}$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{3}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 6.3.2

Multipliez $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Étape 6.3.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 7

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x = π + \frac{π}{3}$

Étape 8

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 8.1.2

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 8.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Étape 8.1.4

Additionnez $π \cdot 3$ et $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $3$ .

$2 x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Étape 8.1.4.2

Additionnez $3 \cdot π$ et $π$ .

$2 x = \frac{4 \cdot π}{3}$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{2}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{2}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{2}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{4 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \cdot π$ .

$x = \frac{2 (2 \cdot π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 (2 \cdot π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2 \cdot π}{3}$

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 9

Déterminez la période de $\tan (2 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 9.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 2 |}$

Étape 9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{π}{2}$

Étape 10

La période de la fonction $\tan (2 x)$ est $\frac{π}{2}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{2}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{2 π}{3} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$