Trigonométrie Exemples

$\sin (2 x) = \sqrt{2} \cos (x)$

Étape 1

Soustrayez $\sqrt{2} \cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (2 x) - \sqrt{2} \cos (x) = 0$

Étape 2

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) = 0$

Étape 3

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x)$ .

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Étape 3.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) - \sqrt{2} \cos (x) = 0$

Étape 3.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \sqrt{2} \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- \sqrt{2}) = 0$

Étape 3.3

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- \sqrt{2})$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) - \sqrt{2}) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0$

Étape 5

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 5.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 5.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 5.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 5.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 5.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $2 \sin (x) - \sqrt{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $2 \sin (x) - \sqrt{2}$ égal à $0$ .

$2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $2 \sin (x) - \sqrt{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $\sqrt{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \sin (x) = \sqrt{2}$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = \sqrt{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = \sqrt{2}$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 6.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 6.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{4}$

Étape 6.2.6

Simplifiez $π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 6.2.6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 6.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.6.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 6.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 6.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.6.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 6.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 6.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 6.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\cos (x) (2 \sin (x) - \sqrt{2}) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez $\frac{π}{2} + 2 π n$ et $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$