Trigonométrie Exemples

$\sin (2 x + \sqrt{3}) \sin (x) = 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (2 x + \sqrt{3}) = 0$

$\sin (x) = 0$

Étape 2

Définissez $\sin (2 x + \sqrt{3})$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Définissez $\sin (2 x + \sqrt{3})$ égal à $0$ .

$\sin (2 x + \sqrt{3}) = 0$

Étape 2.2

Résolvez $\sin (2 x + \sqrt{3}) = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x + \sqrt{3} = \arcsin (0)$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$2 x + \sqrt{3} = 0$

Étape 2.2.3

Soustrayez $\sqrt{3}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - \sqrt{3}$

Étape 2.2.4

Divisez chaque terme dans $2 x = - \sqrt{3}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - \sqrt{3}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 2.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x + \sqrt{3} = π - 0$

Étape 2.2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.6.1

Soustrayez $0$ de $π$ .

$2 x + \sqrt{3} = π$

Étape 2.2.6.2

Soustrayez $\sqrt{3}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = π - \sqrt{3}$

Étape 2.2.6.3

Divisez chaque terme dans $2 x = π - \sqrt{3}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.6.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = π - \sqrt{3}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.2.6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.2.6.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{2} + \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.2.6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.6.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{π}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 2.2.7

Déterminez la période de $\sin (2 x + \sqrt{3})$ .

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Étape 2.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.2.7.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 2.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.2.7.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.2.8

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 2.2.8.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} + π$

Étape 2.2.8.2

Indiquez les nouveaux angles.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2} + π$

Étape 2.2.9

La période de la fonction $\sin (2 x + \sqrt{3})$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2} + π + π n, \frac{π}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.2.3

$x = π - 0$

Étape 3.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 3.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\sin (2 x + \sqrt{3}) \sin (x) = 0$ vraie.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2} + π + π n, \frac{π}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + π + π n, 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Consolidez $2 π n$ et $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2} + π + π n, \frac{π}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + π + π n, π n$ , pour tout entier $n$