Trigonométrie Exemples

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x + \frac{π}{4} = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4}$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $\frac{π}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{π}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π - π}{4}$

Étape 3.3

Soustrayez $π$ de $π$ .

$x = \frac{0}{4}$

Étape 3.4

Divisez $0$ par $4$ .

$x = 0$

Étape 4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x + \frac{π}{4} = π - \frac{π}{4}$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Simplifiez $π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 5.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x + \frac{π}{4} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.1.2

Associez les fractions.

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Étape 5.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x + \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 5.1.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $\frac{π}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{3 π}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{3 π - π}{4}$

Étape 5.2.3

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{4}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 5.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{4}$

Étape 5.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 5.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 5.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{π}{2}$

Étape 6

Déterminez la période de $\sin (x + \frac{π}{4})$ .

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Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7

La période de la fonction $\sin (x + \frac{π}{4})$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$