Trigonométrie Exemples

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$x - \frac{π}{2} = \frac{π}{4}$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Ajoutez $\frac{π}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

Étape 3.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π + π \cdot 2}{4}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{π + 2 \cdot π}{4}$

Étape 3.5.2

Additionnez $π$ et $2 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x - \frac{π}{2} = π - \frac{π}{4}$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Simplifiez $π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 5.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x - \frac{π}{2} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.1.2

Associez les fractions.

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Étape 5.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x - \frac{π}{2} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 5.1.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x - \frac{π}{2} = \frac{3 π}{4}$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Ajoutez $\frac{π}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{π}{2}$

Étape 5.2.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 5.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Étape 5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{3 π + π \cdot 2}{4}$

Étape 5.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{3 π + 2 \cdot π}{4}$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $3 π$ et $2 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 6

Déterminez la période de $\sin (x - \frac{π}{2})$ .

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Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7

La période de la fonction $\sin (x - \frac{π}{2})$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$