Trigonométrie Exemples

$\tan (2 x) - \tan (x) = 0$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez l’identité d’angle double de la tangente.

$\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} - \tan (x) = 0$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 \tan (x)}{1^{2} - \tan^{2} (x)} - \tan (x) = 0$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \tan (x)$ .

$\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x) = 0$

Étape 2

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x)$ .

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Étape 2.1

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}$ .

$\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x) = 0$

Étape 2.2

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $- \tan (x)$ .

$\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} + \tan (x) \cdot - 1 = 0$

Étape 2.3

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} + \tan (x) \cdot - 1$ .

$\tan (x) (\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$

Étape 4

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ .

$\tan (x) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\tan (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (0)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4.2.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + 0$

Étape 4.2.4

Additionnez $π$ et $0$ .

$x = π$

Étape 4.2.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 4.2.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1$ égal à $0$ .

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.2.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)), 1, 1$

Étape 5.2.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$

Étape 5.2.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ par $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.2.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ par $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ .

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Étape 5.2.2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Étape 5.2.2.2.1.2

Développez $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.2.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 - (1 (1 - \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Étape 5.2.2.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 - (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Étape 5.2.2.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 - (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Étape 5.2.2.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.2.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$2 - (1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Étape 5.2.2.2.1.3.1.2

Multipliez $- \tan (x)$ par $1$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Étape 5.2.2.2.1.3.1.3

Multipliez $\tan (x)$ par $1$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Étape 5.2.2.2.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan (x) \tan (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Étape 5.2.2.2.1.3.1.5

Multipliez $\tan (x)$ par $\tan (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.2.1.3.1.5.1

Déplacez $\tan (x)$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - (\tan (x) \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Étape 5.2.2.2.1.3.1.5.2

Multipliez $\tan (x)$ par $\tan (x)$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Étape 5.2.2.2.1.3.2

Additionnez $- \tan (x)$ et $\tan (x)$ .

$2 - (1 + 0 - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Étape 5.2.2.2.1.3.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 - (1 - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Étape 5.2.2.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 - 1 \cdot 1 - - \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Étape 5.2.2.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 - 1 - - \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Étape 5.2.2.2.1.6

Multipliez $- - \tan^{2} (x)$ .

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Étape 5.2.2.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 - 1 + 1 \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Étape 5.2.2.2.1.6.2

Multipliez $\tan^{2} (x)$ par $1$ .

$2 - 1 + \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Étape 5.2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.3.1

Développez $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 (1 - \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x)))$

Étape 5.2.2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x)))$

Étape 5.2.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

Étape 5.2.2.3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.3.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

Étape 5.2.2.3.2.1.2

Multipliez $- \tan (x)$ par $1$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

Étape 5.2.2.3.2.1.3

Multipliez $\tan (x)$ par $1$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x)))$

Étape 5.2.2.3.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan (x) \tan (x))$

Étape 5.2.2.3.2.1.5

Multipliez $\tan (x)$ par $\tan (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.3.2.1.5.1

Déplacez $\tan (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - (\tan (x) \tan (x)))$

Étape 5.2.2.3.2.1.5.2

Multipliez $\tan (x)$ par $\tan (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan^{2} (x))$

Étape 5.2.2.3.2.2

Additionnez $- \tan (x)$ et $\tan (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 + 0 - \tan^{2} (x))$

Étape 5.2.2.3.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan^{2} (x))$

Étape 5.2.2.3.3

Multipliez $0$ par $1 - \tan^{2} (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0$

Étape 5.2.3

Résolvez l’équation.

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Étape 5.2.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\tan^{2} (x) = - 1$

Étape 5.2.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 5.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\tan (x) = \pm i$

Étape 5.2.3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.2.3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\tan (x) = i$

Étape 5.2.3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\tan (x) = - i$

Étape 5.2.3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\tan (x) = i, - i$

Étape 5.2.4

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\tan (x) = i$

$\tan (x) = - i$

Étape 5.2.5

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = i$ .

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Étape 5.2.5.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (i)$

Étape 5.2.5.2

La tangente inverse de $\arctan (i)$ est indéfinie.

Indéfini

Étape 5.2.6

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = - i$ .

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Étape 5.2.6.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- i)$

Étape 5.2.6.2

La tangente inverse de $\arctan (- i)$ est indéfinie.

Indéfini

Étape 5.2.7

Indiquez toutes les solutions.

Aucune solution

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\tan (x) (\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1) = 0$ vraie.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$