Trigonométrie Exemples

$\tan (2 x) = \frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $1 - \tan^{2} (x)$ .

$\tan (2 x) (1 - \tan^{2} (x)) = \frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} (1 - \tan^{2} (x))$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Simplifiez $\tan (2 x) (1 - \tan^{2} (x))$ .

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\tan (2 x) \cdot 1 + \tan (2 x) (- \tan^{2} (x)) = \frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} (1 - \tan^{2} (x))$

Étape 2.1.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1.2.1

Multipliez $\tan (2 x)$ par $1$ .

$\tan (2 x) + \tan (2 x) (- \tan^{2} (x)) = \frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} (1 - \tan^{2} (x))$

Étape 2.1.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\tan (2 x) - \tan (2 x) \tan^{2} (x) = \frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} (1 - \tan^{2} (x))$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - \tan^{2} (x)$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (2 x) - \tan (2 x) \tan^{2} (x) = \frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} (1 - \tan^{2} (x))$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (2 x) - \tan (2 x) \tan^{2} (x) = 2 \tan (x)$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Réécrivez $\tan (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \tan (2 x) \tan^{2} (x) = 2 \tan (x)$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez $\tan (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \tan^{2} (x) = 2 \tan (x)$

Étape 3.1.1.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} = 2 \tan (x)$

Étape 3.1.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 2 \tan (x)$

Étape 3.1.1.5

Multipliez $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ par $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{\sin^{2} (x) \sin (2 x)}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = 2 \tan (x)$

Étape 3.1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1.6.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{\sin^{2} (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = 2 \tan (x)$

Étape 3.1.1.6.2

Associez les exposants.

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Étape 3.1.1.6.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = 2 \tan (x)$

Étape 3.1.1.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x)}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = 2 \tan (x)$

Étape 3.1.1.6.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{3} (x) \cos (x)}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = 2 \tan (x)$

Étape 3.1.1.7

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{3} (x) \cos (x)}{\cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x) - 1)} = 2 \tan (x)$

Étape 3.1.1.8

Annulez le facteur commun à $\cos (x)$ et $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 3.1.1.8.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $2 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{\cos (x) (2 \sin^{3} (x))}{\cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x) - 1)} = 2 \tan (x)$

Étape 3.1.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.1.8.2.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{\cos (x) (2 \sin^{3} (x))}{\cos (x) (\cos (x) (2 \cos^{2} (x) - 1))} = 2 \tan (x)$

Étape 3.1.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{\cos (x) (2 \sin^{3} (x))}{\cos (x) (\cos (x) (2 \cos^{2} (x) - 1))} = 2 \tan (x)$

Étape 3.1.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x) (2 \cos^{2} (x) - 1)} = 2 \tan (x)$

Étape 3.1.1.9

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos (2 x)} = 2 \tan (x)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $2 \tan (x)$ .

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos (2 x)} = 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.2.1.2

Associez $2$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos (2 x)} = \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (2 x)$ .

$\cos (2 x) (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} - \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos (2 x)}) = \cos (2 x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (2 x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cos (2 x) (- \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos (2 x)}) = \cos (2 x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $\cos (2 x)$ .

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Étape 3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (2 x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cos (2 x) (- \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos (2 x)}) = \cos (2 x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.5.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (2 x) + \cos (2 x) (- \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos (2 x)}) = \cos (2 x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\sin (2 x) - \cos (2 x) \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos (2 x)} = \cos (2 x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun de $\cos (2 x)$ .

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Étape 3.7.1

Factorisez $\cos (2 x)$ à partir de $- \cos (2 x)$ .

$\sin (2 x) + \cos (2 x) \cdot - 1 \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos (2 x)} = \cos (2 x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.7.2

Factorisez $\cos (2 x)$ à partir de $\cos (x) \cos (2 x)$ .

$\sin (2 x) + \cos (2 x) \cdot - 1 \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (2 x) \cos (x)} = \cos (2 x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.7.3

Annulez le facteur commun.

$\sin (2 x) + \cos (2 x) \cdot - 1 \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (2 x) \cos (x)} = \cos (2 x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.7.4

Réécrivez l’expression.

$\sin (2 x) - \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} = \cos (2 x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.8

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\sin (2 x) - \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (2 x) (2 \sin (x))}{\cos (x)}$

Étape 3.9

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$\sin (2 x) - \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} = \frac{2 \cos (2 x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.10

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\sin (2 x) - \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \frac{2 \cos (2 x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.11

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \sin (2 x) + \cos (x) (- \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \frac{2 \cos (2 x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos (x) \sin (2 x) - \cos (x) \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{2 \cos (2 x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.13.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.13.1.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \cos (x)$ .

$\cos (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{2 \cos (2 x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.13.1.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{2 \cos (2 x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.13.1.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) \sin (2 x) - (2 \sin^{3} (x)) = \cos (x) \frac{2 \cos (2 x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.13.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\cos (x) \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (x) = \cos (x) \frac{2 \cos (2 x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.14

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.14.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (x) = \cos (x) \frac{2 \cos (2 x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.14.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (x) = 2 \cos (2 x) \sin (x)$

Étape 3.15

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$\cos (x) \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (x) = 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) \sin (x)$

Étape 3.16

Soustrayez $2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) \sin (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (x) \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) \sin (x) = 0$

Étape 3.17

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.17.1

Simplifiez $\cos (x) \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) \sin (x)$ .

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Étape 3.17.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 3.17.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.17.1.1.1.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\cos (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{3} (x) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) \sin (x) = 0$

Étape 3.17.1.1.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cos (x) \sin (x) \cos (x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) \sin (x) = 0$

Étape 3.17.1.1.1.3

Multipliez $2 \cos (x) \sin (x) \cos (x)$ .

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Étape 3.17.1.1.1.3.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) \sin (x) = 0$

Étape 3.17.1.1.1.3.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) \sin (x) = 0$

Étape 3.17.1.1.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) \sin (x) = 0$

Étape 3.17.1.1.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \cos^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) \sin (x) = 0$

Étape 3.17.1.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) + (- 2 \cdot 1 - 2 (- 2 \sin^{2} (x))) \sin (x) = 0$

Étape 3.17.1.1.1.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 \cos^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) + (- 2 - 2 (- 2 \sin^{2} (x))) \sin (x) = 0$

Étape 3.17.1.1.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$2 \cos^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) + (- 2 + 4 \sin^{2} (x)) \sin (x) = 0$

Étape 3.17.1.1.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + 4 \sin^{2} (x) \sin (x) = 0$

Étape 3.17.1.1.1.8

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.17.1.1.1.8.1

Déplacez $\sin (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + 4 (\sin (x) \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.17.1.1.1.8.2

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ .

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Étape 3.17.1.1.1.8.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$2 \cos^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + 4 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.17.1.1.1.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cos^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + 4 {\sin (x)}^{1 + 2} = 0$

Étape 3.17.1.1.1.8.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 \cos^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + 4 \sin^{3} (x) = 0$

Étape 3.17.1.1.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.17.1.1.2.1

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $2 \cos^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + 4 \sin^{3} (x)$ .

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Étape 3.17.1.1.2.1.1

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $2 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$2 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 2 \sin^{3} (x) - 2 \sin (x) + 4 \sin^{3} (x) = 0$

Étape 3.17.1.1.2.1.2

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $- 2 \sin^{3} (x)$ .

$2 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) + 4 \sin^{3} (x) = 0$

Étape 3.17.1.1.2.1.3

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $- 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) (- \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) (- 1) + 4 \sin^{3} (x) = 0$

Étape 3.17.1.1.2.1.4

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $4 \sin^{3} (x)$ .

$2 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) (- \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) (- 1) + 2 \sin (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.17.1.1.2.1.5

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$ .

$2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) (- 1) + 2 \sin (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.17.1.1.2.1.6

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) (- 1)$ .

$2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) - 1) + 2 \sin (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.17.1.1.2.1.7

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) - 1) + 2 \sin (x) (2 \sin^{2} (x))$ .

$2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.17.1.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.17.1.1.2.2.1

Déplacez $- 1$ .

$2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1 - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.17.1.1.2.2.2

Remettez dans l’ordre $\cos^{2} (x)$ et $- 1$ .

$2 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.17.1.1.2.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$2 \sin (x) (- 1 (1) + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.17.1.1.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) (- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.17.1.1.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$2 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.17.1.1.2.6

Réécrivez $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ comme $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$2 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.17.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$2 \sin (x) (- \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.17.1.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.17.1.3.1

Soustrayez $\sin^{2} (x)$ de $- \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.17.1.3.2

Additionnez $- 2 \sin^{2} (x)$ et $2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot 0 = 0$

Étape 3.17.1.4

Multipliez $2 \sin (x) \cdot 0$ .

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Étape 3.17.1.4.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$0 \sin (x) = 0$

Étape 3.17.1.4.2

Multipliez $0$ par $\sin (x)$ .

$0 = 0$

Étape 3.18

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$