Trigonométrie Exemples

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{1 - \frac{3}{5}}}{1 + (- \frac{3}{5})}$

Étape 1

Simplifiez $\frac{\sqrt{1 - \frac{3}{5}}}{1 - \frac{3}{5}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{\frac{5}{5} - \frac{3}{5}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Étape 1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{\frac{5 - 3}{5}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Étape 1.1.3

Soustrayez $3$ de $5$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{\frac{2}{5}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Étape 1.1.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{2}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Étape 1.1.5

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Étape 1.1.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.6.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Étape 1.1.6.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Étape 1.1.6.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Étape 1.1.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Étape 1.1.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Étape 1.1.6.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Étape 1.1.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Étape 1.1.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Étape 1.1.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Étape 1.1.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}}{1 - \frac{3}{5}}$

Étape 1.1.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}}{1 - \frac{3}{5}}$

Étape 1.1.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.7.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}}{1 - \frac{3}{5}}$

Étape 1.1.7.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{1 - \frac{3}{5}}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{\frac{5}{5} - \frac{3}{5}}$

Étape 1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{\frac{5 - 3}{5}}$

Étape 1.2.3

Soustrayez $3$ de $5$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{\frac{2}{5}}$

Étape 1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{10}}{5} \cdot \frac{5}{2}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{10}}{5} \cdot \frac{5}{2}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (\frac{x}{2}) = \sqrt{10} \frac{1}{2}$

Étape 1.5

Associez $\sqrt{10}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{10}}{2}$

Étape 2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$\frac{x}{2} = \arctan (\frac{\sqrt{10}}{2})$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Évaluez $\arctan (\frac{\sqrt{10}}{2})$ .

$\frac{x}{2} = 1.00685368$

Étape 4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 1.00685368$

Étape 5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 1.00685368$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \cdot 1.00685368$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Multipliez $2$ par $1.00685368$ .

$x = 2.01370737$

Étape 6

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{x}{2} = (3.14159265) + 1.00685368$

Étape 7

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) + 1.00685368)$

Étape 7.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) + 1.00685368)$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 ((3.14159265) + 1.00685368)$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Simplifiez $2 ((3.14159265) + 1.00685368)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1.1

Additionnez $3.14159265$ et $1.00685368$ .

$x = 2 \cdot 4.14844633$

Étape 7.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $4.14844633$ .

$x = 8.29689267$

Étape 8

Déterminez la période de $\tan (\frac{x}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 8.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Étape 8.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$π \cdot 2$

Étape 8.5

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$2 π$

Étape 9

La période de la fonction $\tan (\frac{x}{2})$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2.01370737 + 2 π n, 8.29689267 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Consolidez $2.01370737 + 2 π n$ et $8.29689267 + 2 π n$ en $2.01370737 + 2 π n$ .

$x = 2.01370737 + 2 π n$ , pour tout entier $n$