Trigonométrie Exemples

$\tan (\frac{a}{2}) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant $a$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Ajoutez $\frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ aux deux côtés de l’équation.

$\tan (\frac{a}{2}) + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} = 0$

Étape 1.2

Réécrivez $\tan (\frac{a}{2})$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} = 0$

Étape 1.3

Pour écrire $\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} \cdot \frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} = 0$

Étape 1.4

Pour écrire $\frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} \cdot \frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} \cdot \frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} = 0$

Étape 1.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ par $\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} \cdot \frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} = 0$

Étape 1.5.2

Multipliez $\frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ par $\frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{(1 + \cos (a)) \cos (\frac{a}{2})} = 0$

Étape 1.5.3

Réorganisez les facteurs de $(1 + \cos (a)) \cos (\frac{a}{2})$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a)) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

Étape 1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) \cdot 1 + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

Étape 1.7.2

Multipliez $\sin (\frac{a}{2})$ par $1$ .

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

Étape 2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$\sin (\frac{a}{2}) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}) = 0$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $\sin (\frac{a}{2})$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2})$

Étape 3.1.2

Soustrayez $\sin (\frac{a}{2}) \cos (a)$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}))}^{2} = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - \cos (a)}$ comme ${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}} \cos (\frac{a}{2}))}^{2} = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}} \cos (\frac{a}{2}))}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à ${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}} \cos (\frac{a}{2})$ .

${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Étape 3.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Étape 3.3.2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

${(1 - \cos (a))}^{1} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Étape 3.3.2.1.3

Simplifiez

$(1 - \cos (a)) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Étape 3.3.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Étape 3.3.2.1.5

Multipliez $\cos^{2} (\frac{a}{2})$ par $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez ${(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Réécrivez ${(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$ comme $(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Étape 3.3.3.1.2

Développez $(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Étape 3.3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Étape 3.3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

Étape 3.3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.3.1.1

Multipliez $- \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}))$ .

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Étape 3.3.3.1.3.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = 1 \sin (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Étape 3.3.3.1.3.1.1.2

Multipliez $\sin (\frac{a}{2})$ par $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Étape 3.3.3.1.3.1.1.3

Élevez $\sin (\frac{a}{2})$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Étape 3.3.3.1.3.1.1.4

Élevez $\sin (\frac{a}{2})$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin^{1} (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Étape 3.3.3.1.3.1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Étape 3.3.3.1.3.1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Étape 3.3.3.1.3.1.2

Multipliez $- \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ .

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Étape 3.3.3.1.3.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + 1 \sin (\frac{a}{2}) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Étape 3.3.3.1.3.1.2.2

Multipliez $\sin (\frac{a}{2})$ par $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin (\frac{a}{2}) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Étape 3.3.3.1.3.1.2.3

Élevez $\sin (\frac{a}{2})$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Étape 3.3.3.1.3.1.2.4

Élevez $\sin (\frac{a}{2})$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin^{1} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Étape 3.3.3.1.3.1.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Étape 3.3.3.1.3.1.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Étape 3.3.3.1.3.1.3

Multipliez $- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}))$ .

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Étape 3.3.3.1.3.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + 1 \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Étape 3.3.3.1.3.1.3.2

Multipliez $\sin (\frac{a}{2})$ par $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Étape 3.3.3.1.3.1.3.3

Élevez $\sin (\frac{a}{2})$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Étape 3.3.3.1.3.1.3.4

Élevez $\sin (\frac{a}{2})$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin^{1} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Étape 3.3.3.1.3.1.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Étape 3.3.3.1.3.1.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Étape 3.3.3.1.3.1.4

Multipliez $- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ .

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Étape 3.3.3.1.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + 1 \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Étape 3.3.3.1.3.1.4.2

Multipliez $\sin (\frac{a}{2})$ par $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

Étape 3.3.3.1.3.1.4.3

Élevez $\sin (\frac{a}{2})$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) \cos (a)$

Étape 3.3.3.1.3.1.4.4

Élevez $\sin (\frac{a}{2})$ à la puissance $1$ .

Étape 3.3.3.1.3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} \cos (a) \cos (a)$

Étape 3.3.3.1.3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) \cos (a)$

Étape 3.3.3.1.3.1.4.7

Élevez $\cos (a)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) (\cos^{1} (a) \cos (a))$

Étape 3.3.3.1.3.1.4.8

Élevez $\cos (a)$ à la puissance $1$ .

Étape 3.3.3.1.3.1.4.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) {\cos (a)}^{1 + 1}$

Étape 3.3.3.1.3.1.4.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

Étape 3.3.3.1.3.2

Additionnez $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ et $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

Étape 3.4

Résolvez $a$ .

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Étape 3.4.1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.4.1.1

Soustrayez $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ des deux côtés de l’équation.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

Étape 3.4.1.2

Soustrayez $2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ des deux côtés de l’équation.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

Étape 3.4.1.3

Soustrayez $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$ des deux côtés de l’équation.

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Étape 3.4.2

Simplifiez $\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$ .

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Étape 3.4.2.1

Déplacez $- \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Étape 3.4.2.2

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\cos (2 \frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Étape 3.4.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (2 \frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Étape 3.4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (a) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Étape 3.4.2.4

Multipliez par $1$ .

$\cos (a) \cdot 1 - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Étape 3.4.2.5

Factorisez $\cos (a)$ à partir de $- \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2})$ .

$\cos (a) \cdot 1 + \cos (a) (- 1 \cos^{2} (\frac{a}{2})) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Étape 3.4.2.6

Factorisez $\cos (a)$ à partir de $\cos (a) \cdot 1 + \cos (a) (- 1 \cos^{2} (\frac{a}{2}))$ .

$\cos (a) \cdot (1 - 1 \cos^{2} (\frac{a}{2})) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Étape 3.4.2.7

Réécrivez $- 1 \cos^{2} (\frac{a}{2})$ comme $- \cos^{2} (\frac{a}{2})$ .

$\cos (a) \cdot (1 - \cos^{2} (\frac{a}{2})) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Étape 3.4.2.8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\cos (a) \cdot \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Étape 3.4.2.9

Réorganisez les facteurs de $\cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Étape 3.4.2.10

Soustrayez $2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ de $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ .

$- \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Étape 3.4.3

Factorisez $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ à partir de $- \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$ .

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Étape 3.4.3.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 3.4.3.1.1

Déplacez $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

Étape 3.4.3.1.2

Déplacez $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

Étape 3.4.3.1.3

Remettez dans l’ordre $- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ et $- 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$- 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ à partir de $- 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ à partir de $- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cdot 1 = 0$

Étape 3.4.3.4

Factorisez $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ à partir de $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cdot 1$ .

$- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) (\cos (a) + 1) = 0$

Étape 3.4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (a) = 0$

$\sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

$\cos (a) + 1 = 0$

Étape 3.4.5

Définissez $\cos (a)$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 3.4.5.1

Définissez $\cos (a)$ égal à $0$ .

$\cos (a) = 0$

Étape 3.4.5.2

Résolvez $\cos (a) = 0$ pour $a$ .

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Étape 3.4.5.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $a$ de l’intérieur du cosinus.

$a = \arccos (0)$

Étape 3.4.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.5.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$a = \frac{π}{2}$

Étape 3.4.5.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$a = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 3.4.5.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 3.4.5.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$a = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.4.5.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 3.4.5.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$a = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.4.5.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$a = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.4.5.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.5.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$a = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 3.4.5.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$a = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.4.5.2.5

Déterminez la période de $\cos (a)$ .

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Étape 3.4.5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.4.5.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.4.5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.4.5.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.4.5.2.6

La période de la fonction $\cos (a)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$a = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.4.6

Définissez $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 3.4.6.1

Définissez $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ égal à $0$ .

$\sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

Étape 3.4.6.2

Résolvez $\sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$ pour $a$ .

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Étape 3.4.6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (\frac{a}{2}) = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.4.6.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.4.6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\sin (\frac{a}{2}) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.4.6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sin (\frac{a}{2}) = \pm 0$

Étape 3.4.6.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$\sin (\frac{a}{2}) = 0$

Étape 3.4.6.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $a$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{a}{2} = \arcsin (0)$

Étape 3.4.6.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.6.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$\frac{a}{2} = 0$

Étape 3.4.6.2.5

Définissez le numérateur égal à zéro.

$a = 0$

Étape 3.4.6.2.6

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$\frac{a}{2} = π - 0$

Étape 3.4.6.2.7

Résolvez $a$ .

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Étape 3.4.6.2.7.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{a}{2} = 2 (π - 0)$

Étape 3.4.6.2.7.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.4.6.2.7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.6.2.7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.6.2.7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{a}{2} = 2 (π - 0)$

Étape 3.4.6.2.7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$a = 2 (π - 0)$

Étape 3.4.6.2.7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.6.2.7.2.2.1

Soustrayez $0$ de $π$ .

$a = 2 π$

Étape 3.4.6.2.8

Déterminez la période de $\sin (\frac{a}{2})$ .

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Étape 3.4.6.2.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.4.6.2.8.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 3.4.6.2.8.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 3.4.6.2.8.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Étape 3.4.6.2.8.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

Étape 3.4.6.2.9

La période de la fonction $\sin (\frac{a}{2})$ est $4 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $4 π$ radians dans les deux sens.

$a = 4 π n, 2 π + 4 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.4.7

Définissez $\cos (a) + 1$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 3.4.7.1

Définissez $\cos (a) + 1$ égal à $0$ .

$\cos (a) + 1 = 0$

Étape 3.4.7.2

Résolvez $\cos (a) + 1 = 0$ pour $a$ .

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Étape 3.4.7.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (a) = - 1$

Étape 3.4.7.2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $a$ de l’intérieur du cosinus.

$a = \arccos (- 1)$

Étape 3.4.7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.7.2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$a = π$

Étape 3.4.7.2.4

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$a = 2 π - π$

Étape 3.4.7.2.5

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$a = π$

Étape 3.4.7.2.6

Déterminez la période de $\cos (a)$ .

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Étape 3.4.7.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.4.7.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.4.7.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.4.7.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.4.7.2.7

La période de la fonction $\cos (a)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$a = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.4.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) (\cos (a) + 1) = 0$ vraie.

$a = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 4 π n, 2 π + 4 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Consolidez les réponses.

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Étape 4.1

Consolidez $\frac{π}{2} + 2 π n$ et $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$a = \frac{π}{2} + π n, 4 π n, 2 π + 4 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.2

Consolidez $4 π n$ et $2 π + 4 π n$ en $2 π n$ .

$a = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.3

Consolidez $2 π n$ et $π + 2 π n$ en $π n$ .

$a = \frac{π}{2} + π n, π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.4

Consolidez les réponses.

$a = \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Vérifiez chaque solution en la remplaçant dans $\tan (\frac{a}{2}) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ et en résolvant.

$a = \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n$ , pour tout entier $n$