Trigonométrie Exemples

$y = (x + 9) + (\frac{74}{x + 5})$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $x + 9 + \frac{74}{x + 5} = y$ .

$x + 9 + \frac{74}{x + 5} = y$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, 1, x + 5, 1$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$1, 1, x + 5, 1$

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x + 5$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $x + 9 + \frac{74}{x + 5} = y$ par $x + 5$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $x + 9 + \frac{74}{x + 5} = y$ par $x + 5$ .

$x (x + 5) + 9 (x + 5) + \frac{74}{x + 5} (x + 5) = y (x + 5)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 5 + 9 (x + 5) + \frac{74}{x + 5} (x + 5) = y (x + 5)$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot 5 + 9 (x + 5) + \frac{74}{x + 5} (x + 5) = y (x + 5)$

Étape 3.2.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 5 \cdot x + 9 (x + 5) + \frac{74}{x + 5} (x + 5) = y (x + 5)$

Étape 3.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 5 x + 9 x + 9 \cdot 5 + \frac{74}{x + 5} (x + 5) = y (x + 5)$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $9$ par $5$ .

$x^{2} + 5 x + 9 x + 45 + \frac{74}{x + 5} (x + 5) = y (x + 5)$

Étape 3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + 5 x + 9 x + 45 + \frac{74}{x + 5} (x + 5) = y (x + 5)$

Étape 3.2.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + 5 x + 9 x + 45 + 74 = y (x + 5)$

Étape 3.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.2.2.1

Additionnez $5 x$ et $9 x$ .

$x^{2} + 14 x + 45 + 74 = y (x + 5)$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $45$ et $74$ .

$x^{2} + 14 x + 119 = y (x + 5)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 14 x + 119 = y x + y \cdot 5$

Étape 3.3.2

Déplacez $5$ à gauche de $y$ .

$x^{2} + 14 x + 119 = y x + 5 y$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $y x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 14 x + 119 - y x = 5 y$

Étape 4.2

Soustrayez $5 y$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 14 x + 119 - y x - 5 y = 0$

Étape 4.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 14 - y$ et $c = 119 - 5 y$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- (14 - y) \pm \sqrt{{(14 - y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (119 - 5 y))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 1 \cdot 14 + y \pm \sqrt{{(14 - y)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (119 - 5 y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $14$ .

$x = \frac{- 14 + y \pm \sqrt{{(14 - y)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (119 - 5 y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.3

Multipliez $- - y$ .

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Étape 4.5.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 14 + 1 y \pm \sqrt{{(14 - y)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (119 - 5 y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$x = \frac{- 14 + y \pm \sqrt{{(14 - y)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (119 - 5 y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4

Réécrivez ${(14 - y)}^{2}$ comme $(14 - y) (14 - y)$ .

$x = \frac{- 14 + y \pm \sqrt{(14 - y) (14 - y) - 4 \cdot 1 \cdot (119 - 5 y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5

Développez $(14 - y) (14 - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.5.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 14 + y \pm \sqrt{14 (14 - y) - y (14 - y) - 4 \cdot 1 \cdot (119 - 5 y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 14 + y \pm \sqrt{14 \cdot 14 + 14 (- y) - y (14 - y) - 4 \cdot 1 \cdot (119 - 5 y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 14 + y \pm \sqrt{14 \cdot 14 + 14 (- y) - y \cdot 14 - y (- y) - 4 \cdot 1 \cdot (119 - 5 y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.5.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1.6.1.1

Multipliez $14$ par $14$ .

$x = \frac{- 14 + y \pm \sqrt{196 + 14 (- y) - y \cdot 14 - y (- y) - 4 \cdot 1 \cdot (119 - 5 y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $14$ .

$x = \frac{- 14 + y \pm \sqrt{196 - 14 y - y \cdot 14 - y (- y) - 4 \cdot 1 \cdot (119 - 5 y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6.1.3

Multipliez $14$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 14 + y \pm \sqrt{196 - 14 y - 14 y - y (- y) - 4 \cdot 1 \cdot (119 - 5 y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \frac{- 14 + y \pm \sqrt{196 - 14 y - 14 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y) - 4 \cdot 1 \cdot (119 - 5 y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.1.6.1.5.1

Déplacez $y$ .

$x = \frac{- 14 + y \pm \sqrt{196 - 14 y - 14 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) - 4 \cdot 1 \cdot (119 - 5 y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$x = \frac{- 14 + y \pm \sqrt{196 - 14 y - 14 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) - 4 \cdot 1 \cdot (119 - 5 y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 14 + y \pm \sqrt{196 - 14 y - 14 y + 1 y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (119 - 5 y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6.1.7

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$x = \frac{- 14 + y \pm \sqrt{196 - 14 y - 14 y + y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (119 - 5 y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6.2

Soustrayez $14 y$ de $- 14 y$ .

$x = \frac{- 14 + y \pm \sqrt{196 - 28 y + y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (119 - 5 y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.7

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 14 + y \pm \sqrt{196 - 28 y + y^{2} - 4 \cdot (119 - 5 y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 14 + y \pm \sqrt{196 - 28 y + y^{2} - 4 \cdot 119 - 4 (- 5 y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.9

Multipliez $- 4$ par $119$ .

$x = \frac{- 14 + y \pm \sqrt{196 - 28 y + y^{2} - 476 - 4 (- 5 y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.10

Multipliez $- 5$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 14 + y \pm \sqrt{196 - 28 y + y^{2} - 476 + 20 y}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.11

Soustrayez $476$ de $196$ .

$x = \frac{- 14 + y \pm \sqrt{- 28 y + y^{2} - 280 + 20 y}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.12

Additionnez $- 28 y$ et $20 y$ .

$x = \frac{- 14 + y \pm \sqrt{- 8 y + y^{2} - 280}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.13

Remettez les termes dans l’ordre.

$x = \frac{- 14 + y \pm \sqrt{y^{2} - 8 y - 280}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 14 + y \pm \sqrt{y^{2} - 8 y - 280}}{2}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{14 - y - \sqrt{y^{2} - 8 y - 280}}{2}$

$x = - \frac{14 - y + \sqrt{y^{2} - 8 y - 280}}{2}$

$x = - \frac{14 - y - \sqrt{y^{2} - 8 y - 280}}{2}$

$x = - \frac{14 - y + \sqrt{y^{2} - 8 y - 280}}{2}$