Trigonométrie Exemples

$y = x - 16 {(\frac{x}{\sqrt{2} \cdot 105})}^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $x - 16 {(\frac{x}{\sqrt{2} \cdot 105})}^{2} = y$ .

$x - 16 {(\frac{x}{\sqrt{2} \cdot 105})}^{2} = y$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Déplacez $105$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$x - 16 {(\frac{x}{105 \sqrt{2}})}^{2} = y$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{x}{105 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x - 16 {(\frac{x}{105 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} = y$

Étape 2.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{x}{105 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{105 \sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} = y$

Étape 2.3.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{105 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}^{2} = y$

Étape 2.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{105 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})}^{2} = y$

Étape 2.3.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{105 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})}^{2} = y$

Étape 2.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{105 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} = y$

Étape 2.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{105 {\sqrt{2}}^{2}})}^{2} = y$

Étape 2.3.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{105 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} = y$

Étape 2.3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{105 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} = y$

Étape 2.3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{105 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}^{2} = y$

Étape 2.3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{105 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}^{2} = y$

Étape 2.3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{105 \cdot 2^{1}})}^{2} = y$

Étape 2.3.7.5

Évaluez l’exposant.

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{105 \cdot 2})}^{2} = y$

Étape 2.4

Multipliez $105$ par $2$ .

$x - 16 {(\frac{x \sqrt{2}}{210})}^{2} = y$

Étape 2.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x \sqrt{2}}{210}$ .

$x - 16 \frac{{(x \sqrt{2})}^{2}}{210^{2}} = y$

Étape 2.5.2

Appliquez la règle de produit à $x \sqrt{2}$ .

$x - 16 \frac{x^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{210^{2}} = y$

Étape 2.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x - 16 \frac{x^{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{210^{2}} = y$

Étape 2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - 16 \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{210^{2}} = y$

Étape 2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x - 16 \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{210^{2}} = y$

Étape 2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x - 16 \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{210^{2}} = y$

Étape 2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x - 16 \frac{x^{2} \cdot 2^{1}}{210^{2}} = y$

Étape 2.6.5

Évaluez l’exposant.

$x - 16 \frac{x^{2} \cdot 2}{210^{2}} = y$

Étape 2.7

Élevez $210$ à la puissance $2$ .

$x - 16 \frac{x^{2} \cdot 2}{44100} = y$

Étape 2.8

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.8.1

Factorisez $4$ à partir de $- 16$ .

$x + 4 (- 4) \frac{x^{2} \cdot 2}{44100} = y$

Étape 2.8.2

Factorisez $4$ à partir de $44100$ .

$x + 4 \cdot - 4 \frac{x^{2} \cdot 2}{4 \cdot 11025} = y$

Étape 2.8.3

Annulez le facteur commun.

$x + 4 \cdot - 4 \frac{x^{2} \cdot 2}{4 \cdot 11025} = y$

Étape 2.8.4

Réécrivez l’expression.

$x - 4 \frac{x^{2} \cdot 2}{11025} = y$

Étape 2.9

Associez $- 4$ et $\frac{x^{2} \cdot 2}{11025}$ .

$x + \frac{- 4 (x^{2} \cdot 2)}{11025} = y$

Étape 2.10

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$x + \frac{- 8 x^{2}}{11025} = y$

Étape 2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$x - \frac{8 x^{2}}{11025} = y$

Étape 3

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x - \frac{8 x^{2}}{11025} - y = 0$

Étape 4

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $11025$ , puis simplifiez.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$11025 x + 11025 (- \frac{8 x^{2}}{11025}) + 11025 (- y) = 0$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $11025$ .

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Étape 4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8 x^{2}}{11025}$ dans le numérateur.

$11025 x + 11025 (\frac{- 8 x^{2}}{11025}) + 11025 (- y) = 0$

Étape 4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$11025 x + 11025 (\frac{- 8 x^{2}}{11025}) + 11025 (- y) = 0$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$11025 x - 8 x^{2} + 11025 (- y) = 0$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 1$ par $11025$ .

$11025 x - 8 x^{2} - 11025 y = 0$

Étape 4.3

Déplacez $11025 x$ .

$- 8 x^{2} - 11025 y + 11025 x = 0$

Étape 5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6

Remplacez les valeurs $a = - 8$ , $b = 11025$ et $c = - 11025 y$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 11025 \pm \sqrt{11025^{2} - 4 \cdot (- 8 \cdot (- 11025 y))}}{2 \cdot - 8}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $11025$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 11025 \pm \sqrt{121550625 - 4 \cdot - 8 \cdot (- 11025 y)}}{2 \cdot - 8}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 8 \cdot - 11025$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$x = \frac{- 11025 \pm \sqrt{121550625 + 32 \cdot (- 11025 y)}}{2 \cdot - 8}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $32$ par $- 11025$ .

$x = \frac{- 11025 \pm \sqrt{121550625 - 352800 y}}{2 \cdot - 8}$

Étape 7.1.3

Factorisez $11025$ à partir de $121550625 - 352800 y$ .

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Étape 7.1.3.1

Factorisez $11025$ à partir de $121550625$ .

$x = \frac{- 11025 \pm \sqrt{11025 (11025) - 352800 y}}{2 \cdot - 8}$

Étape 7.1.3.2

Factorisez $11025$ à partir de $- 352800 y$ .

$x = \frac{- 11025 \pm \sqrt{11025 (11025) + 11025 (- 32 y)}}{2 \cdot - 8}$

Étape 7.1.3.3

Factorisez $11025$ à partir de $11025 (11025) + 11025 (- 32 y)$ .

$x = \frac{- 11025 \pm \sqrt{11025 (11025 - 32 y)}}{2 \cdot - 8}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $11025 (11025 - 32 y)$ comme $105^{2} (105^{2} - 32 y)$ .

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Étape 7.1.4.1

Réécrivez $11025$ comme $105^{2}$ .

$x = \frac{- 11025 \pm \sqrt{105^{2} (11025 - 32 y)}}{2 \cdot - 8}$

Étape 7.1.4.2

Réécrivez $11025$ comme $105^{2}$ .

$x = \frac{- 11025 \pm \sqrt{105^{2} (105^{2} - 32 y)}}{2 \cdot - 8}$

Étape 7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 11025 \pm 105 \sqrt{105^{2} - 32 y}}{2 \cdot - 8}$

Étape 7.1.6

Élevez $105$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 11025 \pm 105 \sqrt{11025 - 32 y}}{2 \cdot - 8}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$x = \frac{- 11025 \pm 105 \sqrt{11025 - 32 y}}{- 16}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{- 11025 \pm 105 \sqrt{11025 - 32 y}}{- 16}$ .

$x = \frac{11025 \pm 105 \sqrt{11025 - 32 y}}{16}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{105 (105 + \sqrt{11025 - 32 y})}{16}$

$x = \frac{105 (105 - \sqrt{11025 - 32 y})}{16}$