Trigonométrie Exemples

sin (2 x) > cos (2 x)

$\sin (2 x) > \cos (2 x)$

Étape 1

Résolvez

\frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < x < \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}

$\frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < x < \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans l’équation par

cos (2 x)

$\cos (2 x)$ .

\frac{sin (2 x)}{cos (2 x)} > \frac{cos (2 x)}{cos (2 x)}

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} > \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

Étape 1.2

Convertissez de

\frac{sin (2 x)}{cos (2 x)}

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ à

tan (2 x)

$\tan (2 x)$ .

tan (2 x) > \frac{cos (2 x)}{cos (2 x)}

$\tan (2 x) > \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de

cos (2 x)

$\cos (2 x)$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (2 x) > \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (2 x) > 1$

Étape 1.4

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

$x$ de l’intérieur de la tangente.

$2 x > \arctan (1)$

Étape 1.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.1

La valeur exacte de

$\arctan (1)$ est

$\frac{π}{4}$ .

$2 x > \frac{π}{4}$

Étape 1.6

Divisez chaque terme dans

$2 x > \frac{π}{4}$ par

$2$ et simplifiez.

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Étape 1.6.1

Divisez chaque terme dans

$2 x > \frac{π}{4}$ par

$2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Étape 1.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.6.2.1

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 1.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Étape 1.6.2.1.2

Divisez

$x$ par

$1$ .

$x > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Étape 1.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.6.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x > \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.6.3.2

Multipliez

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.6.3.2.1

Multipliez

$\frac{π}{4}$ par

$\frac{1}{2}$ .

$x > \frac{π}{4 \cdot 2}$

Étape 1.6.3.2.2

Multipliez

$4$ par

$2$ .

$x > \frac{π}{8}$

Étape 1.7

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de

$π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x = π + \frac{π}{4}$

Étape 1.8

Résolvez

$x$ .

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Étape 1.8.1

Simplifiez

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Étape 1.8.1.1

Pour écrire

$π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{4}{4}$ .

$2 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 1.8.1.2

Associez

$π$ et

$\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 1.8.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 1.8.1.4

Additionnez

$π \cdot 4$ et

$π$ .

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Étape 1.8.1.4.1

Remettez dans l’ordre

$π$ et

$4$ .

$2 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 1.8.1.4.2

Additionnez

$4 \cdot π$ et

$π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Étape 1.8.2

Divisez chaque terme dans

$2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ par

$2$ et simplifiez.

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Étape 1.8.2.1

Divisez chaque terme dans

$2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ par

$2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Étape 1.8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.8.2.2.1

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 1.8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Étape 1.8.2.2.1.2

Divisez

$x$ par

$1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Étape 1.8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.8.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.8.2.3.2

Multipliez

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.8.2.3.2.1

Multipliez

$\frac{5 π}{4}$ par

$\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Étape 1.8.2.3.2.2

Multipliez

$4$ par

$2$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Étape 1.9

Déterminez la période de

$\tan (2 x)$ .

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Étape 1.9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

$\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 1.9.2

Remplacez

$b$ par

$2$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 2 |}$

Étape 1.9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

$0$ et

$2$ est

$2$ .

$\frac{π}{2}$

Étape 1.10

La période de la fonction

$\tan (2 x)$ est

$\frac{π}{2}$ si bien que les valeurs se répètent tous les

$\frac{π}{2}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier

$n$

Étape 1.11

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier

$n$

Étape 1.12

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$

Étape 1.13

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 1.13.1

Testez une valeur sur l’intervalle

$\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.13.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

$\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 1.13.1.2

Remplacez

$x$ par

$1$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (2 (1)) > \cos (2 (1))$

Étape 1.13.1.3

Le côté gauche

$0.90929742$ est supérieur au côté droit

$- 0.41614683$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 1.13.2

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ Vrai

Étape 1.14

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < x < \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier

$n$

$\frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < x < \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier

$n$

Étape 2

Utilisez l’inégalité

$\frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < x < \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ pour créer la notation de l’ensemble.

${x | \frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < x < \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}}$

Étape 3