Trigonométrie Exemples

\cos (x) > 0

$\cos (x) > 0$

Étape 1

Résolvez

\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n

$\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

x

$x$ de l’intérieur du cosinus.

x > \arccos (0)

$x > \arccos (0)$

Étape 1.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

La valeur exacte de

\arccos (0)

$\arccos (0)$ est

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

x > \frac{π}{2}

$x > \frac{π}{2}$

x > \frac{π}{2}

$x > \frac{π}{2}$

Étape 1.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

2 π

$2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

x = 2 π - \frac{π}{2}

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 1.4

Simplifiez

2 π - \frac{π}{2}

$2 π - \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Pour écrire

2 π

$2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Associez

2 π

$2 π$ et

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 1.4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.1

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

x = \frac{4 π - π}{2}

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 1.4.3.2

Soustrayez

π

$π$ de

4 π

$4 π$ .

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.5

Déterminez la période de

\cos (x)

$\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.5.2

Remplacez

b

$b$ par

1

$1$ dans la formule pour la période.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

0

$0$ et

1

$1$ est

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.5.4

Divisez

2 π

$2 π$ par

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Étape 1.6

La période de la fonction

\cos (x)

$\cos (x)$ est

2 π

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

2 π

$2 π$ radians dans les deux sens.

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

Étape 1.7

Consolidez les réponses.

x = \frac{π}{2} + π n

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier

n

$n$

Étape 1.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$

Étape 1.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

x = 3

$x = 3$

Étape 1.9.1.2

Remplacez

x

$x$ par

3

$3$ dans l’inégalité d’origine.

\cos (3) > 0

$\cos (3) > 0$

Étape 1.9.1.3

Le côté gauche

- 0.98999249

$- 0.98999249$ n’est pas supérieur au côté droit

0

$0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 1.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle

\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

x = 6

$x = 6$

Étape 1.9.2.2

Remplacez

x

$x$ par

6

$6$ dans l’inégalité d’origine.

\cos (6) > 0

$\cos (6) > 0$

Étape 1.9.2.3

Le côté gauche

0.96017028

$0.96017028$ est supérieur au côté droit

0

$0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 1.9.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Faux

\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Vrai

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Faux

\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Vrai

Étape 1.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n

$\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n

$\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

Étape 2

Utilisez l’inégalité

\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n

$\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$ pour créer la notation de l’ensemble.

{x | \frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n}

${x | \frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n}$

Étape 3