Trigonométrie Exemples

$\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{\sec (y) + \tan (y) \csc (y)}{\tan (y)}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{\sec (y) + \tan (y) \csc (y)}{\tan (y)} = x$ .

$\frac{\sec (y) + \tan (y) \csc (y)}{\tan (y)} = x$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $\frac{\sec (y) + \tan (y) \csc (y)}{\tan (y)}$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.1.1.1.1

Réécrivez $\tan (y) \csc (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sec (y) + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{1}{\sin (y)}}{\tan (y)} = x$

Étape 2.2.1.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

$\frac{\sec (y) + \frac{1}{\cos (y)}}{\tan (y)} = x$

Étape 2.2.1.1.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (y)}$ à $\sec (y)$ .

$\frac{\sec (y) + \sec (y)}{\tan (y)} = x$

Étape 2.2.1.1.3

Additionnez $\sec (y)$ et $\sec (y)$ .

$\frac{2 \sec (y)}{\tan (y)} = x$

Étape 2.2.1.2

Séparez les fractions.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sec (y)}{\tan (y)} = x$

Étape 2.2.1.3

Réécrivez $\tan (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sec (y)}{\frac{\sin (y)}{\cos (y)}} = x$

Étape 2.2.1.4

Réécrivez $\sec (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (y)}}{\frac{\sin (y)}{\cos (y)}} = x$

Étape 2.2.1.5

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ .

$\frac{2}{1} (\frac{1}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}) = x$

Étape 2.2.1.6

Annulez le facteur commun de $\cos (y)$ .

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Étape 2.2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{1} (\frac{1}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}) = x$

Étape 2.2.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)} = x$

Étape 2.2.1.7

Convertissez de $\frac{1}{\sin (y)}$ à $\csc (y)$ .

$\frac{2}{1} \csc (y) = x$

Étape 2.2.1.8

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \csc (y) = x$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $2 \csc (y) = x$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 \csc (y) = x$ par $2$ .

$\frac{2 \csc (y)}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \csc (y)}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $\csc (y)$ par $1$ .

$\csc (y) = \frac{x}{2}$

Étape 2.4

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la cosécante.

$y = arccsc (\frac{x}{2})$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = arccsc (\frac{x}{2})$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = arccsc (\frac{x}{2})$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}}{2})$

Étape 4.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 4.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.4.1.1

Réécrivez $\tan (x) \csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{\sec (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 4.2.4.1.2

Annulez les facteurs communs.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{\sec (x) + \frac{1}{\cos (x)}}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 4.2.4.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{\sec (x) + \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 4.2.4.3

Additionnez $\sec (x)$ et $\sec (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{2 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sec (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{2 (\sec (x))}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 4.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{2 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 4.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{\sec (x)}{\tan (x)})$

Étape 4.2.6

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{\sec (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})$

Étape 4.2.7

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})$

Étape 4.2.8

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Étape 4.2.9

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 4.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Étape 4.2.9.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\frac{1}{\sin (x)})$

Étape 4.2.10

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}) = arccsc (\csc (x))$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (arccsc (\frac{x}{2}))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\sec (arccsc (\frac{x}{2})) + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.3.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ , $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $arccsc (\frac{x}{2})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ . Ainsi, $\sec (arccsc (\frac{x}{2}))$ est $\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.3

Associez.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \cdot 1}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.3.5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{x}{2}$ et $b = 1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.5.3

Simplifiez

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Étape 4.3.3.5.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.5.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} - 1)}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.5.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.5.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.5.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.5.3.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.5.4

Multipliez $\frac{x + 2}{2}$ par $\frac{x - 2}{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.5.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.5.6

Réécrivez $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Étape 4.3.3.5.6.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(x + 2) (x - 2)$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.5.6.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.5.6.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.5.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{(x + 2) (x - 2)})} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.5.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{2 (\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2})} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.6

Associez $2$ et $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.7.1

Réduisez l’expression $\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.7.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{1}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.7.2

Divisez $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ par $1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.8

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ par $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.9

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.3.9.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ par $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.9.2

Élevez $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ à la puissance $1$ .

Étape 4.3.3.9.3

Élevez $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ à la puissance $1$ .

Étape 4.3.3.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.9.6

Réécrivez ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ comme $(x + 2) (x - 2)$ .

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Étape 4.3.3.9.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ comme ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.9.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.9.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.9.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.3.9.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.9.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.9.6.5

Simplifiez

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.10

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.10.1

Réécrivez $\tan (arccsc (\frac{x}{2})) \csc (arccsc (\frac{x}{2}))$ en termes de sinus et de cosinus.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{\sin (arccsc (\frac{x}{2}))}{\cos (arccsc (\frac{x}{2}))} \cdot \frac{1}{\sin (arccsc (\frac{x}{2}))}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{\cos (arccsc (\frac{x}{2}))}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.11

Convertissez de $\frac{1}{\cos (arccsc (\frac{x}{2}))}$ à $\sec (arccsc (\frac{x}{2}))$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \sec (arccsc (\frac{x}{2}))}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.12

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.13

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.14

Associez.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \cdot 1}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.15

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.16

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.3.16.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.16.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{x}{2}$ et $b = 1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.16.3

Simplifiez

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Étape 4.3.3.16.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.16.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} - 1)}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.16.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.16.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.16.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.16.3.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.16.4

Multipliez $\frac{x + 2}{2}$ par $\frac{x - 2}{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.16.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.16.6

Réécrivez $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Étape 4.3.3.16.6.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(x + 2) (x - 2)$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.16.6.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.16.6.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.16.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{(x + 2) (x - 2)})}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.16.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{2 (\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2})}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.17

Associez $2$ et $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.18

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.18.1

Réduisez l’expression $\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.18.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.18.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{1}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.18.2

Divisez $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ par $1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.19

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ par $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.20

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.3.20.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ par $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.20.2

Élevez $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ à la puissance $1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.20.3

Élevez $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ à la puissance $1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.20.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.20.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.20.6

Réécrivez ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ comme $(x + 2) (x - 2)$ .

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Étape 4.3.3.20.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ comme ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.20.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.20.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.20.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.3.20.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.20.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.20.6.5

Simplifiez

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.3.21

Additionnez $\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ et $\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\tan (arccsc (\frac{x}{2}))}$

Étape 4.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.4.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ , $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $arccsc (\frac{x}{2})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ . Ainsi, $\tan (arccsc (\frac{x}{2}))$ est $\frac{1}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}$

Étape 4.3.4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.4.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}}}$

Étape 4.3.4.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{x}{2}$ et $b = 1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}}}$

Étape 4.3.4.2.3

Simplifiez

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Étape 4.3.4.2.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}}}$

Étape 4.3.4.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} - 1)}}}$

Étape 4.3.4.2.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}}}$

Étape 4.3.4.2.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}}}$

Étape 4.3.4.2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}}}$

Étape 4.3.4.2.3.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}}}$

Étape 4.3.4.2.4

Multipliez $\frac{x + 2}{2}$ par $\frac{x - 2}{2}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}}}$

Étape 4.3.4.2.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}}}$

Étape 4.3.4.2.6

Réécrivez $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Étape 4.3.4.2.6.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(x + 2) (x - 2)$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}}}$

Étape 4.3.4.2.6.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}}}$

Étape 4.3.4.2.6.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}}}$

Étape 4.3.4.2.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}$

Étape 4.3.4.2.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{1}{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}$

Étape 4.3.4.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{1 (\frac{2}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}})}$

Étape 4.3.4.4

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ par $1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}$

Étape 4.3.4.5

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ par $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}$

Étape 4.3.4.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.4.6.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ par $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}$

Étape 4.3.4.6.2

Élevez $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ à la puissance $1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}$

Étape 4.3.4.6.3

Élevez $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ à la puissance $1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}$

Étape 4.3.4.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}}}$

Étape 4.3.4.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}}}$

Étape 4.3.4.6.6

Réécrivez ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ comme $(x + 2) (x - 2)$ .

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Étape 4.3.4.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ comme ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Étape 4.3.4.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Étape 4.3.4.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 4.3.4.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.4.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 4.3.4.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}}$

Étape 4.3.4.6.6.5

Simplifiez

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)})}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}}$

Étape 4.3.5

Associez $2$ et $\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{\frac{2 (x \sqrt{(x + 2) (x - 2)})}{(x + 2) (x - 2)}}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}}$

Étape 4.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Étape 4.3.7

Annulez le facteur commun de $2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

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Étape 4.3.7.1

Factorisez $2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ à partir de $2 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Étape 4.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Étape 4.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot ((x + 2) (x - 2))$

Étape 4.3.8

Annulez le facteur commun de $(x + 2) (x - 2)$ .

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Étape 4.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = \frac{x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot ((x + 2) (x - 2))$

Étape 4.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$f (arccsc (\frac{x}{2})) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = arccsc (\frac{x}{2})$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\sec (x) + \tan (x) \csc (x)}{\tan (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = arccsc (\frac{x}{2})$